已知数列{an}满足a1=2，a2=8，an+2=4an+1-4an．（1）证明{an+1-2an}是等比数列；（2）证明{an2n}是等差数列；（3）设S=a1+a2+a3+…+a2010，求S的值．-数学试题及答案

1、试题题目：已知数列{an}满足a1=2，a2=8，an+2=4an+1-4an．（1）证明{an+1-2an}..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-03-05 07:30:00

试题原文

已知数列{a_n}满足 a₁=2，a₂=8，a_n+2=4a_n+1-4a_n．
（1）证明{a_n+1-2a_n}是等比数列；
（2）证明{

an

2n

}是等差数列；
（3）设S=a₁+a₂+a₃+…+a₂₀₁₀，求S的值．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：等差数列的定义及性质

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）∵a_n+2=4a_n+1-4a_n∴a_n+2-2a_n+1=2（a_n+1-2a_n），
即

an+2-2an+1

an+1-2an

=2，又 a₂-2a₁=4
∴数列{a_n+1-2a_n}是以4为首项，2为公比的等比数列．
（2）由（1）知，a_n+1-2a_n=4?2^n-1=2ⁿ⁺¹，∴

an+1

2n+1

-

an

2n

=1，又

a1

2

=1，
∴数列{

an

2n

}是首项为1，公差为1的等差数列，即正整数列．
（3）∵

an

2n

=n，∴a_n=n?2ⁿ，又 S=a₁+a₂+a₃+…+a₂₀₁₀，
∴S=2+2?2²+3?2³+…+2010?2²⁰¹⁰①2S=2²+2?2³+3?2⁴+…+2010?2²⁰¹¹②
①-②得-S=2+2²+2³+…+2²⁰¹⁰-2010?2²⁰¹¹=2²⁰¹¹-2-2010?2²⁰¹¹
∴S=2009?2¹⁰¹¹+2．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知数列{an}满足a1=2，a2=8，an+2=4an+1-4an．（1）证明{an+1-2an}..”的主要目的是检查您对于考点“高中等差数列的定义及性质”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中等差数列的定义及性质”。

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