已知两个等差数列5，8，11，…和3，7，11，…都有100项，问它们有多少相同的项？并求所有相同项的和．-数学试题及答案

1、试题题目：已知两个等差数列5，8，11，…和3，7，11，…都有100项，问它们有多..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-03-05 07:30:00

试题原文

已知两个等差数列5，8，11，…和3，7，11，…都有100项，问它们有多少相同的项？并求所有相同项的和．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：等差数列的定义及性质

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

解法一：设两个数列相同的项按原来的前后次序组成的新数列为{a_n}，则a₁=11．
∵数列5，8，11，…与3，7，11，…公差分别为3与4，
∴{a_n}的公差d=3×4=12，
∴a_n=12n-1．
又∵5，8，11，…与3，7，11，…的第100项分别是302与399，
∴a_n=12n-1≤302，即n≤25.5．
又∵n∈N^*，
∴两个数列有25个相同的项．
其和S₂₅=11×25+

25×24

2

×12=3875．
解法二：设5，8，11，与3，7，11，分别为{a_n}与{b_n}，则a_n=3n+2，b_n=4n-1．
设{a_n}中的第n项与{b_n}中的第m项相同，
即3n+2=4m-1，∴n=

4

3

m-1．
又m、n∈N^*，∴设m=3r（r∈N^*），
得n=4r-1．
根据题意得

1≤3r≤100

1≤4r-1≤100

解得1≤r≤25（r∈N^*）．
从而有25个相同的项，且公差为12，
其和S₂₅=11×25+

25×24

2

×12=3875．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知两个等差数列5，8，11，…和3，7，11，…都有100项，问它们有多..”的主要目的是检查您对于考点“高中等差数列的定义及性质”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中等差数列的定义及性质”。

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