已知数列{an}，{bn}是各项均为正数的等比数列，设cn=bnan，n∈N*（Ⅰ）证明：数列{cn}是等比数列，数列{lnan}是等差数列．（Ⅱ）设数列{lnan}，{lnbn}的前n项和分别是Sn，Tn．若a1=2，-数学试题及答案

1、试题题目：已知数列{an}，{bn}是各项均为正数的等比数列，设cn=bnan，n∈N*（..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-03-05 07:30:00

试题原文

已知数列{a_n}，{b_n}是各项均为正数的等比数列，设c_n=

bn

an

，n∈N^*
（Ⅰ）证明：数列{c_n}是等比数列，数列{lna_n}是等差数列．
（Ⅱ）设数列{lna_n}，{lnb_n}的前n项和分别是S_n，T_n．若a₁=2，

Sn

Tn

=

n

2n+1

，求数列{c_n}的通项公式．
（Ⅲ）在（Ⅱ）条件下，设d_n=

6cn

bn+1-4an+1-4an+2

，求数列{d_n}的前n项和．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：等差数列的定义及性质

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）设数列{a_n}、b_n的公比分别为p、q（p＞0，q＞0），
则由题意可得

an

an-1

=p，

bn

bn-1

=q，
∴

cn

cn-1

=

an?bn

an-1?bn-1

= pq，c₁=a₁?b₁
所以数列c_n以a₁?b₁为首项，以pq为公比的等比数列
又因为lnan-lnan-1=ln

an

an-1

=lnp，
数列lna_n以lna₁为首项，以lnp为公差的等差数列
（2）由题意可得sn=n?ln2+

n(n-1)

2

×lnp，Tn=n?lnb1+

n(n-1)

2

×lnq
∴

Sn

Tn

=

n?ln2+

n(n-1)

2

? lnp

n?lnb1+

n(n-1)

2

?lnq

=

2ln2+(n-1)?lnp

2lnb1+(n-1)?lnq

=

n

2n+1

∴

n?lnp+(ln4-lnp)

n?lnq+(2lnb1-lnq)

=

n+

ln4-lnp

lnp

n?

lnq

lnp

+

2lnb1-lnq

lnp

=

n

2n+1

∴

ln4-lnp

lnp

=0，

lnq

lnp

=2，

2lnb1-lnq

lnp

=1
∴p=4，q=16，b₁=8
∴a_n=2?4^n-1=2^2n-1，b_n=8?16^n-1=2^4n-1
（III）由（II）可得dn=

6?cn

bn+1-4an+1-4an+2

=

6?4n

8?16n-8?4n-2?4n+2

=

3?4n

4?(4n)2-5?4n+1

=

3?4n

(4n-1)(4n+1-1)

=

1

4n-1

-

1

4n+1-1

∴d₁+d₂+d₃+…+d_n
=

1

41-1

-

1

42-1

+

1

42-1

-

1

43-1

+…+

1

4n-1

-

1

4n+1-1

=

1

3

-

1

4n+1-1

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知数列{an}，{bn}是各项均为正数的等比数列，设cn=bnan，n∈N*（..”的主要目的是检查您对于考点“高中等差数列的定义及性质”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中等差数列的定义及性质”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：