发布人：繁体字网（www.fantiz5.com） 发布时间：2016-03-05 07:30:00
| 试题原文 |
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| （1）①当n=4时，a1，a2，a3，a4中不可能删去首项或末项，否则等差数列中连续三项成等比数列，则推出d=0． 若删去a2，则a32=a1?a4，即（a1+2d）2=a1?（a1+3d）化简得a1+4d=0，得
若删去a3，则a22=a1?a4，即（a1+d）2=a1?（a1+3d）化简得a1-d=0，得
综上，得
②当n=5时，a1，a2，a3，a4，a5中同样不可能删去a1，a2，a4，a5，否则出现连续三项． 若删去a3，则a1?a5=a2?a4，即a1（a1+4d）=（a1+d）?（a1+3d）化简得3d2=0，因为d≠0，所以a3不能删去； 当n≥6时，不存在这样的等差数列．事实上，在数列a1，a2，a3，…，an-2，an-1，an中，由于不能删去首项或末项， 若删去a2，则必有a1?an=a3?an-2，这与d≠0矛盾； 同样若删去an-1也有a1?an=a3?an-2，这与d≠0矛盾； 若删去a3，，an-2中任意一个，则必有a1?an=a2?an-1，这与d≠0矛盾．（或者说：当n≥6时，无论删去哪一项，剩余的项中必有连续的三项） 综上所述，n=4． （2）假设对于某个正整数n，存在一个公差为d的n项等差数列b1，b2，bn，其中bx+1，by+1，bz+1（0≤x＜y＜z≤n-1）为任意三项成等比数列，则b2y+1=bx+1?bz+1，即（b1+yd）2=（b1+xd）?（b1+zd），化简得（y2-xz）d2=（x+z-2y）b1d（*） 由b1d≠0知，y2-xz与x+z-2y同时为0或同时不为0 当y2-xz与x+z-2y同时为0时，有x=y=z与题设矛盾． 故y2-xz与x+z-2y同时不为0，所以由（*）得
因为0≤x＜y＜z≤n-1，且x、y、z为整数，所以上式右边为有理数，从而
于是，对于任意的正整数n（n≥4），只要
例如n项数列1，1+
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经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“（1）设a1，a2，…，an是各项均不为零的n（n≥4）项等差数列，且公差d≠..”的主要目的是检查您对于考点“高中等差数列的定义及性质”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中等差数列的定义及性质”。