在数列an中，a1=2，an+1=2an+2n+1（n∈N）．（1）求证：数列{an2n}为等差数列；（2）若m为正整数，当2≤n≤m时，求证：(m-n+1)(n?3nan)1m≤m2-1m-数学试题及答案

1、试题题目：在数列an中，a1=2，an+1=2an+2n+1（n∈N）．（1）求证：数列{an2n}为等差..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-03-05 07:30:00

试题原文

在数列a_n中，a₁=2，a_n+1=2a_n+2ⁿ⁺¹（n∈N）．
（1）求证：数列{

an

2n

}为等差数列；
（2）若m为正整数，当2≤n≤m时，求证：(m-n+1)(

n?3n

an

)

1

m

≤

m2-1

m

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：等差数列的定义及性质

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（I）由a_n+1=2a_n+2ⁿ⁺¹变形得：

an+1

2n+1

=

an

2n

+1，即

an+1

2n+1

-

an

2n

=1
故数列{

an

2n

}是以

a1

2

=1为首项，1为公差的等差数列
（II）由（I）得a_n=n?2ⁿ(m-n+1)(

n?3n

an

)

1

m

≤

m2-1

m

即(m-n+1)(

3

2

)

n

m

≤

m2-1

m

令f(n)=(m-n+1)?(

3

2

)

n

m

，则f(n+1)=(m-n)?(

3

2

)

n+1

m

当m＞n≥2时，

f(n)

f(n+1)

=

m-n+1

m-n

?(

2

3

)

1

m

=(1+

1

m-n

)?(

2

3

)

1

m

≥(1+

1

m-2

)?(

2

3

)

1

m

又(1+

1

m-2

)m=1+

C

1m

?

1

m-2

+＞1+

m

m-2

＞2＞

3

2

∴1+

1

m-2

＞(

3

2

)

1

m

则

f(n)

f(n+1)

＞1，则f(n)为递减数列．
当m=n时，f（n）＞f（n+1）
∴当m≥n≥2时，f（n）递减数列．
∴f(x)max=f(2)=(

9

4

)

1

m

(m-1)，故只需证(

9

4

)

1

m

(m-1)≤

m2-1

m

要证：(m-n+1)(

3

2

)

n

m

≤

m2-1

m

即证

9

4

≤(

m+1

m

)m=(1+

1

m

)m，而m≥2时，(1+

1

m

)m≥

C

0m

+

C

1m

?

1

m

+

C

0m

?

1

m2

=2+

1

m2

?

m(m-1)

2

=2+

m-1

2m

=2+

1

2

-

1

2m

≥2+

1

2

-

1

2×2

=

9

4

故原不等式成立．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“在数列an中，a1=2，an+1=2an+2n+1（n∈N）．（1）求证：数列{an2n}为等差..”的主要目的是检查您对于考点“高中等差数列的定义及性质”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中等差数列的定义及性质”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：