已知f（x）=logax（a＞0，a≠1），设数列f（a1），f（a2），f（a3），…，f（an）…是首项为4，公差为2的等差数列．（I）设a为常数，求证：{an}成等比数列；（II）设bn=anf（an），数列{bn}前n项和是-数学试题及答案

1、试题题目：已知f（x）=logax（a＞0，a≠1），设数列f（a1），f（a2），f..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-03-05 07:30:00

试题原文

已知f（x）=log_ax（a＞0，a≠1），设数列f（a₁），f（a₂），f（a₃），…，f（a_n）…是首项为4，公差为2的等差数列．
（I）设a为常数，求证：{a_n}成等比数列；
（II）设b_n=a_nf（a_n），数列{b_n}前n项和是S_n，当a=

2

时，求S_n．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：等差数列的定义及性质

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

证明：（I）f（a_n）=4+（n-1）×2=2n+2，
即log_aa_n=2n+2，可得a_n=a²ⁿ⁺²．
∴

an

an-1

=

a2n+2

a2(n-1)+2

=

a2n+2

a2n

=a2(n≥2，n∈N*)为定值．
∴{a_n}为等比数列．（5分）
（II）b_n=a_nf（a_n）=a²ⁿ⁺²log_aa²ⁿ⁺²=（2n+2）a²ⁿ⁺²．（7分）
当a=

2

时，bn=anf(an)=(2n+2)(

2

)2n+2=(n+1)2n+2．（8分）
S_n=2×2³+3×2⁴+4×2⁵++（n+1）?2ⁿ⁺²①
2S_n=2×2⁴+3×2⁵+4×2⁶++n?2ⁿ⁺²+（n+1）?2ⁿ⁺³②
①-②得-S_n=2×2³+2⁴+2⁵++2ⁿ⁺²-（n+1）?2ⁿ⁺³（12分）
=16+

24(1-2n-1)

1-2

-（n+1）?2ⁿ⁺³=16+2ⁿ⁺³-2⁴-n?2ⁿ⁺³-2ⁿ⁺³．
∴S_n=n?2ⁿ⁺³．（14分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知f（x）=logax（a＞0，a≠1），设数列f（a1），f（a2），f..”的主要目的是检查您对于考点“高中等差数列的定义及性质”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中等差数列的定义及性质”。

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