已知{an}是公差为d的等差数列，它的前n项和为Sn，S4=2S2+4，bn=1+anan．（1）求公差d的值；（2）若a1=-52，求数列{bn}中的最大项和最小项的值；（3）若对任意的n∈N*，都有bn≤b8成立-数学试题及答案

1、试题题目：已知{an}是公差为d的等差数列，它的前n项和为Sn，S4=2S2+4，bn=1..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-03-05 07:30:00

试题原文

已知{a_n}是公差为d的等差数列，它的前n项和为S_n，S₄=2S₂+4，bn=

1+an

an

．
（1）求公差d的值；
（2）若a1=-

5

2

，求数列{b_n}中的最大项和最小项的值；
（3）若对任意的n∈N^*，都有b_n≤b₈成立，求a₁的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：等差数列的定义及性质

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）∵S₄=2S₂+4，∴4a1+

3×4

2

d=2(2a1+d)+4，解得d=1，
（2）∵a1=-

5

2

，∴数列a_n的通项公式为 an=a1+(n-1)=n-

7

2

，∴bn=1+

1

an

=1+

1

n-

7

2

，
∵函数f(x)=1+

1

x-

7

2

在(-∞，

7

2

)和(

7

2

，+∞)上分别是单调减函数，
∴b₃＜b₂＜b₁＜1，当n≥4时，1＜b_n≤b₄，∴数列{b_n}中的最大项是b₄=3，最小项是b₃=-1．
（3）由bn=1+

1

an

得 bn=1+

1

n+a1-1

，
又函数f(x)=1+

1

x+a1-1

在（-∞，1-a₁）和（1-a₁，+∞）上分别是单调减函数，
且x＜1-a₁时，y＜1；x＞1-a₁时，y＞1．
∵对任意的n∈N^*，都有b_n≤b₈，∴7＜1-a₁＜8，∴-7＜a₁＜-6，∴a₁的取值范围是（-7，-6）．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知{an}是公差为d的等差数列，它的前n项和为Sn，S4=2S2+4，bn=1..”的主要目的是检查您对于考点“高中等差数列的定义及性质”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中等差数列的定义及性质”。

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