已知抛物线y2=4ax（0＜a＜1=的焦点为F，以A（a+4，0）为圆心，|AF|为半径在x轴上方作半圆交抛物线于不同的两点M和N，设P为线段MN的中点．（1）求|MF|+|NF|的值；（2）是否存在这样的a值-数学试题及答案

1、试题题目：已知抛物线y2=4ax（0＜a＜1=的焦点为F，以A（a+4，0）为圆心，|AF|为半..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-03-05 07:30:00

试题原文

已知抛物线y²=4ax（0＜a＜1=的焦点为F，以A（a+4，0）为圆心，|AF|为半径在x轴上方作半圆交抛物线于不同的两点M和N，设P为线段MN的中点．
（1）求|MF|+|NF|的值；
（2）是否存在这样的a值，使|MF|、|PF|、|NF|成等差数列？如存在，求出a的值，若不存在，说明理由．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：等差数列的定义及性质

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）F（a，0），设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），P（x₀，y₀），
由 {，

y2=4ax

(x-a-4)2+y2=16

，消去y，得
?x²+2（a-4）x+（a²+8a）=0，
∵△＞0，∴x₁+x₂=2（4-a），
∴|MF|+|NF|=（x₁+a）+（x₂+a）=8．
（2）假设存在a值，使的|MF|，|PF|，|NF|成等差数列，即2|PF|=|MF|+|NF|?|PF|=4x₀=4-a，
∴

(x0-a)2+y02=16?(4-2a)2+y02=16?y02=16a-4a2

又

y02=(

y1+y2

2

)2=

y12+y22+2y1y2

4

=

4ax1+4ax2+2

4ax1

4ax2

4

=a(x1+x2)+2a

x1x2

=2a(4-a)+2a

a2+8a

?
2a(4-a)+2a

a2+8a

=16a-4a²?a=2，
与

△＞0

x1+x2＞0

x1x2＞0

y02＞0

?0＜a＜1矛盾．
∴假设不成立．
即不存在a值，使的|MF|，|PF|，|NF|成等差数列．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知抛物线y2=4ax（0＜a＜1=的焦点为F，以A（a+4，0）为圆心，|AF|为半..”的主要目的是检查您对于考点“高中等差数列的定义及性质”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中等差数列的定义及性质”。

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