设Tn为数列{an}的前n项乘积，满足Tn=1-an(n∈N*)（1）设bn=1Tn，求证：数列{bn}是等差数列；（2）设cn=2n?bn，求证数列{cn}的前n项和Sn；（3）设An=Te1+Te2+…Ten，求证：an+1-12＜An≤--数学试题及答案

1、试题题目：设Tn为数列{an}的前n项乘积，满足Tn=1-an(n∈N*)（1）设bn=1Tn，求证..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-03-05 07:30:00

试题原文

设T_n为数列{a_n}的前n项乘积，满足Tn=1-an(n∈N*)
（1）设bn=

1

Tn

，求证：数列{b_n}是等差数列；
（2）设cn=2n?b_n，求证数列{c_n}的前n项和S_n；
（3）设An=

T

e1

+

T

e2

+…

T

en

，求证：an+1-

1

2

＜An≤-

1

4

．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：等差数列的定义及性质

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）∵T_n=1-a_n，an=

Tn

Tn-1

，n≥2，
∴Tn=1-

Tn

Tn-1

，从而

1

Tn

-

1

Tn-1

=1，（n≥2）
∴b_n-b_n-1=1，（n≥2）
∵T₁=a₁=1-a₁，
∴a1=

1

2

，b1=

1

T1

=

1

a1

=2，
∴{b_n}是以2为首项，1为公差的等差数列．
（2）由（1）知b_n=2+（n-1）=n+1，从而c_n=（n+1）?2ⁿ，
∴S_n=2?2+3?2²+…+（n+1）?2ⁿ，
2S_n=2?2²+3?2³+…+n?2ⁿ+（n+1）?2ⁿ⁺¹，
两式相减，得-S_n=4+（2²+2³+…+2ⁿ）-（n+1）?2ⁿ⁺¹
=4+

4(1-2n-1)

1-2

-（n+1）?2ⁿ⁺¹
=-n?2ⁿ⁺¹，
∴S_n=n?2ⁿ⁺¹．
（3）∵Tn=

1

bn

=

1

n+1

，
∴n≥2时，an=

Tn

Tn-1

=

n

n+1

，
∵a1=

1

2

，∴an=

n

n+1

，n∈N* ，
An=T12+T22+…+Tn2
=

1

22

+

1

32

+…+

1

(n+1)2

＞

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

(n+1)(n+2)

=

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

n+1

-

1

n+2

=

1

2

-

1

n+2

=an+1-

1

2

，
∴An＞an+1-

1

2

，
又∵当n≥2时，An=T12+T22+…+Tn2
=

1

22

+

1

32

+…+

1

(n+1)2

=

1

22

+

1

32

+…+

1

(n+1)2

＜

1

22

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

n(n+1)

=

1

22

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

n

-

1

n+1

=

1

4

+

1

2

-

1

n+1

=an-

1

4

，
an+1-

1

2

＜An≤-

1

4

．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设Tn为数列{an}的前n项乘积，满足Tn=1-an(n∈N*)（1）设bn=1Tn，求证..”的主要目的是检查您对于考点“高中等差数列的定义及性质”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中等差数列的定义及性质”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：