已知数列{an}：1，1+12，1+13+23，1+14+24+34，…，1+1n+2n+…+n-1n，…．（I）求数列{an}的通项公式an，并证明数列{an}是等差数列；（II）设bn=n(an+1-an)n，求数列{bn}的前n项和Tn．-数学试题及答案

1、试题题目：已知数列{an}：1，1+12，1+13+23，1+14+24+34，…，1+1n+2n+…+n-1n..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-03-05 07:30:00

试题原文

已知数列{a_n}：1，1+

1

2

，1+

1

3

+

2

3

，1+

1

4

+

2

4

+

3

4

，…，1+

1

n

+

2

n

+…+

n-1

n

，…．
（I）求数列{a_n}的通项公式a_n，并证明数列{a_n}是等差数列；
（II）设bn=

n

(an+1-an)n

，求数列{b_n}的前n项和T_n．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：等差数列的定义及性质

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（I）∵a_n=1+

1

n

+

2

n

+…+

n-1

n

=1+

(

1

n

+

n-1

n

)(n-1)

2

=

n+1

2

，
∴a_n+1-a_n=

(n+1)+1

2

-

n+1

2

=

1

2

，又a₁=1，
∴数列{a_n}是以1为首项，

1

2

为公差的等差数列；
（II）∵b_n=

n

(an+1-an)n

=

n

(

1

2

)n

=n?2ⁿ，
∴T_n=b₁+b₂+…+b_n=1×2¹+2×2²+…+n?2ⁿ，①
∴2T_n=1×2²+2×2³+…+（n-1）×2ⁿ+n?2ⁿ⁺¹，②
①-②得：-T_n=2¹+2²+…+2ⁿ-n?2ⁿ⁺¹
=

2(1-2n)

1-2

-n?2ⁿ⁺¹
=（1-n）?2ⁿ⁺¹-2，
∴T_n=（n-1）?2ⁿ⁺¹+2．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知数列{an}：1，1+12，1+13+23，1+14+24+34，…，1+1n+2n+…+n-1n..”的主要目的是检查您对于考点“高中等差数列的定义及性质”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中等差数列的定义及性质”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：