如图所示四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，四边形ABCD中，AB⊥AD，BC∥AD，PA=AB=BC=2，AD=4，E为PD的中点，F为PC中点．（Ⅰ）求证：CD⊥平面PAC；（Ⅱ）求证：BF∥平面ACE；（Ⅲ）求直线PD与平-数学试题及答案

1、试题题目：如图所示四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，四边形ABCD中，AB⊥AD，BC..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-20 07:30:00

试题原文

如图所示四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，四边形ABCD中，AB⊥AD，BC∥AD，PA=AB=BC=2，AD=4，E为PD的中点，F为PC中点．
（Ⅰ）求证：CD⊥平面PAC；
（Ⅱ）求证：BF∥平面ACE；
（Ⅲ）求直线PD与平面PAC所成的角的正弦值．

试题来源：河东区一模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：直线与平面所成的角

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）证明：因为PA⊥底面ABCD，CD?面ABCD，所以PA⊥CD，
又因为直角梯形ABCD中，AC=2

2

，CD=2

2

，
所以AC²+CD²=AD²，即AC⊥CD，
又PA∩AC=A，所以CD⊥平面PAC；…（4分）
（Ⅱ）解法一：如图，连接BD，交AC于O，取PE中点G，连接BG，FG，EO，则在△PCE中，FG∥CE，
又EC?平面ACE，FG?平面ACE，所以FG∥平面ACE，
因为BC∥AD，所以

BO

OD

=

GE

ED

，则OE∥BG，
又OE?平面ACE，BG?平面ACE，所以BG∥平面ACE，
又BG∩FG=G，所以平面BFG∥平面ACE，
因为BF?平面BFG，所以BF∥平面ACE．…（10分）
解法二：如图，连接BD，交AC于O，取PE中点G，
连接FD交CE于H，连接OH，则FG∥CE，
在△DFG中，HE∥FG，则

GE

ED

=

FH

HD

=

1

2

，
在底面ABCD中，BC∥AD，所以

BO

OD

=

BC

AD

=

1

2

，
所以

FH

HD

=

BO

OD

=

1

2

，故BF∥OH，又OH?平面ACE，BF?平面ACE，
所以BF∥平面ACE．…（10分）
（Ⅲ）由（Ⅰ）可知，CD⊥平面PAC，所以∠DPC为直线PD与平面PAC所成的角，
在Rt△PCD中，CD=2

2

，PD=

PA2+AD2

=2

5

，
所以sin∠DPC=

CD

PD

=

2

5

=

10

5

，
所以直线PD与平面PAC所成的角的正弦值为

10

5

．…（14分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“如图所示四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，四边形ABCD中，AB⊥AD，BC..”的主要目的是检查您对于考点“高中直线与平面所成的角”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中直线与平面所成的角”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：