如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD为菱形，∠ABC=60°，侧面PAB是边长为2的正三角形，侧面PAB⊥底面ABCD．（Ⅰ）设AB的中点为Q，求证：PQ⊥平面ABCD；（Ⅱ）求斜线PD与平面ABCD所成角的正弦值-数学试题及答案

1、试题题目：如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD为菱形，∠ABC=60°，侧面PAB是边长为..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-20 07:30:00

试题原文

如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD为菱形，∠ABC=60°，侧面PAB是边长为2的正三角形，侧面PAB⊥底面ABCD．
（Ⅰ）设AB的中点为Q，求证：PQ⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求斜线PD与平面ABCD所成角的正弦值；
（Ⅲ）在侧棱PC上存在一点M，使得二面角M-BD-C的大小为60°，求

CM

CP

的值．

试题来源：南开区二模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：直线与平面所成的角

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）证明：∵侧面PAB是正三角形，AB的中点为Q，∴PQ⊥AB，
∵侧面PAB⊥底面ABCD，侧面PAB∩底面ABCD=AB，PQ?侧面PAB，
∴PQ⊥平面ABCD．
（Ⅱ）连接AC，设AC∩BD=O，建立空间直角坐标系O-xyz，
则O（0，0，0），B(

3

，0，0)，C（0，1，0），D(-

3

，0，0)，P(

3

2

，-

1

2

，

3

)，

PD

=(-

3

2

，

1

2

，-

3

)，平面ABCD的法向量

m

=(0，0，1)，
设斜线PD与平面ABCD所成角的为α，
则sinα=|cos＜

m

，

PD

＞|=|

m

?

PD

|

m

||

PD

|

|=

3

27

4

+

1

4

+3

=

30

10

．
（Ⅲ）设

CM

=t

CP

=(

3

2

t，-

3

2

t，

3

t)，
则M(

3

2

t，-

3

2

t+1，

3

t)，

BM

=(

3

2

t-

3

，-

3

2

t+1，

3

t)，

DB

=2

3

(1，0，0)，
设平面MBD的法向量为

n

=(x，y，z)，
则

n

⊥

DB

?

n

?

DB

=0?x=0，

n

⊥

MB

?

n

?

MB

=0?(

3

2

t-

3

)x+(-

3

2

t+1)y+

3

tz=0，
取z=

3

，得

n

=(0，

6t

3t-2

，

3

)，又平面ABCD的法向量

m

=(0，0，1)．
∴|

m

?

n

|

m

|

n

|

|=|cos＜

m

，

n

＞|=|cos60°|，∴

3

3+(

6t

3t-2

)2

=

1

2

，
解得t=2（舍去）或t=

2

5

．
所以，此时

CM

CP

=

2

5

．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD为菱形，∠ABC=60°，侧面PAB是边长为..”的主要目的是检查您对于考点“高中直线与平面所成的角”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中直线与平面所成的角”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：