在长方体BCD-A1B1C1D1中，E、F分别是棱BC，CC1上的点，CF=AB=2CE，AB：AD：AA1=1：2：4（1）求异面直线EF与A1D所成角的余弦值；（2）求二面角A1-ED-F的正弦值．-数学试题及答案

1、试题题目：在长方体BCD-A1B1C1D1中，E、F分别是棱BC，CC1上的点，CF=AB=2CE..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-20 07:30:00

试题原文

在长方体BCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分别是棱BC，CC₁上的点，CF=AB=2CE，AB：AD：AA₁=1：2：4
（1）求异面直线EF与A₁D所成角的余弦值；
（2）求二面角A₁-ED-F的正弦值．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：直线与平面所成的角

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

如图所示，建立空间直角坐标系，点A为坐标原点，设AB=1，依题意得D（0，2，0），F（1，2，1），A₁（0，0，4），E（1，

3

2

，0），
（1）易得

EF

=（0，

1

2

，1），

A1D

=（0，2，-4），于是cos＜

EF

，

A1D

＞=

EF

?

A1D

|

EF

||

A1D

|

=-

3

5

，

所以异面直线EF与A₁D所成角的余弦值为

3

5

．
（2）设平面EFD的法向量

n

=（x，y，z），则

n

?

EF

=

1

2

y+z=0，且

n

?

ED

=-x+

1

2

y=0，
不妨令x=1，可得

n

=（1，2，-1），
设平面A₁ED的法向量

m

=（m，n，p）则

m

?

ED

=-m+

1

2

n=0且

m

?

DA1

=-2n+4p=0，
取p=1，则n=2，m=1，则

m

=（1，2，1），
于是cos＜

n

，

m

＞=

n

?

m

|

n

||

m

|

=

2

3

，从而sin＜

n

，

m

＞=

5

3

，
所以二面角A₁-ED-F的正弦值为

5

3

．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“在长方体BCD-A1B1C1D1中，E、F分别是棱BC，CC1上的点，CF=AB=2CE..”的主要目的是检查您对于考点“高中直线与平面所成的角”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中直线与平面所成的角”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：