如图，在边长为4的菱形ABCD中，∠DAB=60°，点E，F分别在边CD，CB上，点E与点C，点D不重合，EF⊥AC，EF∩AC=O，沿EF将△CEF折起到△PEF的位置，使得平面PEF⊥平面ABFED（1）求证：BD⊥平-数学试题及答案

1、试题题目：如图，在边长为4的菱形ABCD中，∠DAB=60°，点E，F分别在边CD，CB上..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-20 07:30:00

试题原文

如图，在边长为4的菱形ABCD中，∠DAB=60°，点E，F分别在边CD，CB上，点E与点C，点D不重合，EF⊥AC，EF∩AC=O，沿EF将△CEF折起到△PEF的位置，使得平面PEF⊥平面ABFED
（1）求证：BD⊥平面POA
（2）设AO∩BD=H，当O为CH中点时，若点Q满足

AQ

=

QP

，求直线OQ与平面PBD所成角的正弦值．

魔方格

试题来源：茂名二模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：直线与平面所成的角

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）证明：在菱形ABCD中，∵BD⊥AC，∴BD⊥AO，
∵EF⊥AC，∴PO⊥EF．
∵平面PEF⊥平面ABFED，平面PEF∩平面ABFED=EF，且PO?平面PEF，
∴PO⊥平面ABFED，
∵BD?平面ABFED，∴PO⊥BD，
∵AO∩PO=O，∴BD⊥平面POA．
（2）由（1）可知：AC⊥BD，
∵∠DAB=60°，BC=4，∴BH=2，CH=2

3

．
∵O为CH的中点，∴PO=

3

．
如图，以O为坐标原点，建立空间直角坐标系O-xyz．
魔方格

则O（0，0，0），A(3

3

，0，0)，
B(

3

，2，0)，D(

3

，-2，0)，P(0，0，

3

)．
∴

PB

=(

3

，2，-

3

)，

BD

=(0，-4，0)．
由

AQ

=

QP

，得Q为AP的中点．
∴Q(

3

2

，0，

3

2

)．∴

OQ

=(

3

2

，0，

3

2

)．
设平面PBD的法向量为

n

=(x，y，z)，
则

n

?

PB

=0

n

?

BD

=0

得

3

x+2y-

3

z=0

-4y=0

，取x=1，得y=0，z=1．
∴

n

=(1，0，1)．
设直线OQ与平面PBD所成的角为θ．
则sinθ=|cos＜

OQ

，

n

＞|=

|

n

?

OQ

|

n

| |

OQ

|

=

|

3

2

+

3

2

|

(

3

2

)2+(

3

2

)2

=

2

5

．
因此直线OQ与平面PBD所成的角的正弦值为

2

5

．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“如图，在边长为4的菱形ABCD中，∠DAB=60°，点E，F分别在边CD，CB上..”的主要目的是检查您对于考点“高中直线与平面所成的角”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中直线与平面所成的角”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：