如图棱长是1的正方体，P、Q分别是棱AB、CC1上的点，且APPB=CQQC1=2．（1）求证：A1P⊥平面AQD；（2）求直线PQ与平面AQD所成角的正弦值．-数学试题及答案

1、试题题目：如图棱长是1的正方体，P、Q分别是棱AB、CC1上的点，且APPB=CQQC1..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-20 07:30:00

试题原文

如图棱长是1的正方体，P、Q分别是棱AB、CC₁上的点，且

AP

PB

=

CQ

QC1

=2．
（1）求证：A₁P⊥平面AQD；
（2）求直线PQ与平面AQD所成角的正弦值．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：直线与平面所成的角

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

证明：（1）平面AQD与侧棱B₁B的交点是R，
显然

BR

RB1

=2，在正方形ABB₁A₁中
由

AP

PB

=

BR

RB1

=2可得△A1AP≌△ABR
所以AR⊥A₁P，
又AA₁⊥平面ABCD，AP⊥AD，得A₁P⊥AD，
∴A₁P⊥平面AQD
（2）设A₁P与AR交于点S，连接SQ，则∠PQS=θ即为PQ与平面AQD所成角．
在Rt△PQS中，|PS|=

4

3

13

，|PQ|=

14

3

，∴sinθ=

|PS|

|PQ|

=

4

182

=

2

182

91

，
即直线PQ与平面AQD所成角的正弦值是

2

182

91

．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“如图棱长是1的正方体，P、Q分别是棱AB、CC1上的点，且APPB=CQQC1..”的主要目的是检查您对于考点“高中直线与平面所成的角”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中直线与平面所成的角”。

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