如图，在平面四边形ABCD中，已知∠A=45°，∠C=90°，∠ADC=105°，AB=BD，现将四边形ABCD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BDC，设点F为棱AD的中点．（1）求证：DC⊥平面ABC；（2）求直线BF与平面-数学试题及答案

1、试题题目：如图，在平面四边形ABCD中，已知∠A=45°，∠C=90°，∠ADC=105°，AB=..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-20 07:30:00

试题原文

如图，在平面四边形ABCD中，已知∠A=45°，∠C=90°，∠ADC=105°，AB=BD，现将四边形ABCD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BDC，设点F为棱AD的中点．
（1）求证：DC⊥平面ABC；
（2）求直线BF与平面ACD所成角的余弦值．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：直线与平面所成的角

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（本小题满分14分）
（1）证明：在图甲中∵AB=BD，且∠A=45°，
∴∠ADB=45°，∠ABD=90°，
即AB⊥BD，
在图乙中，∵平面ABD⊥平面BDC，且平面ABD∩平面BDC=BD
∴AB⊥底面BDC，∴AB⊥CD．
又∠DCB=90°，∴DC⊥BC，且AB∩BC=B，
∴DC⊥平面ABC． …（7分）
（2）作BE⊥AC，垂足为E．
由（1）知平面ABC⊥平面ACD，又平面ABC∩平面ACD=AC，∴BF⊥平面ADC，
∴∠AFE即为直线BF与平面ACD所成角
设CD=a，得AB=BD=2a，BC=

3

a，AC=

7

a
∴BE=

2

3

7

a，BF=

2

a，FE=

2

14

a，
∴cos∠BFE=

2

14

a

2

a

=

7

，
∴直线BF与平面ACD所成角的余弦值为

7

．…..（14分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“如图，在平面四边形ABCD中，已知∠A=45°，∠C=90°，∠ADC=105°，AB=..”的主要目的是检查您对于考点“高中直线与平面所成的角”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中直线与平面所成的角”。

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