已知长方体AC1中，棱AB=BC=3，棱BB1=4，连接B1C，过B点作B1C的垂线交CC1于E，交B1C于F．（1）求证A1C⊥平面EBD；（2）求点A到平面A1B1C的距离；（3）求平面A1B1C与平面BDE所成角的度-数学试题及答案

1、试题题目：已知长方体AC1中，棱AB=BC=3，棱BB1=4，连接B1C，过B点作B1C的垂..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-20 07:30:00

试题原文

已知长方体AC₁中，棱AB=BC=3，棱BB₁=4，连接B₁C，过B点作B₁C的垂线交CC₁于E，交B₁C于F．
（1）求证A₁C⊥平面EBD；
（2）求点A到平面A₁B₁C的距离；
（3）求平面A₁B₁C与平面BDE所成角的度数；
（4）求ED与平面A₁B₁C₁所成角的大小．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：直线与平面所成的角

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）连接AC，则AC⊥BD，又AC是A₁C在平面ABCD内的射影
∴A₁C⊥BD；
又∵A₁B₁⊥面B₁C₁CB，且A₁C在平面B₁C₁CB内的射影B₁C⊥BE，
∴A₁C⊥BE，又∵BD∩BE=B
∴A₁C⊥面EBD…（3分）
（2）∵AB∥平面A₁B₁C，点B到平面A₁B₁C的距离等于点A到平面A₁B₁C的距离
∵

BF⊥B1C

BF⊥A1B1

?BF⊥平面A₁B₁C，BF的长即为所求距离．
∴所求距离即为BF=

BB1? BC

B1C

=

3×4

32

+42

=

12

5

…（6分）
（3）由（2）∵BF⊥平面A₁B₁C，，而BF在平面BDE上，
∴平面A₁B₁C⊥平面BDE，故平面A₁B₁C与平面BDE所成角的度数为90°．
…（9分）
（4）连接DF，A₁D，∵EF⊥B₁C，EF⊥A₁C，
∴EF⊥面A₁B₁C，
∴∠EDF即为ED与平面A₁B₁C所成的角（6分）
由条件AB=BC=3，BB₁=4，
可知B₁C=5，BF=

12

5

，B1F=

16

5

，CF=

9

5

，EF=

FC

B1F

?BF=

27

20

，EC=

FC

B1F

?BB1=

9

4

∴ED=

EC2+CD2

=

15

4

∴sin∠EDF=

EF

ED

=

27

20

15

4

=

9

25

．
∴ED与平面A₁B₁C所成角为arcsin

9

25

…（12分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知长方体AC1中，棱AB=BC=3，棱BB1=4，连接B1C，过B点作B1C的垂..”的主要目的是检查您对于考点“高中直线与平面所成的角”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中直线与平面所成的角”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：