已知正方形ABCD的边长为1，沿对角线AC把△ACD折起，当以A，B，C，D四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线BD和平面ABC所成的角的大小为_____

1、试题题目：已知正方形ABCD的边长为1，沿对角线AC把△ACD折起，当以A，B，C，..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-20 07:30:00

试题原文

已知正方形ABCD的边长为1，沿对角线AC把△ACD折起，当以A，B，C，D四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线BD和平面ABC所成的角的大小为______．

试题来源：不详试题题型：填空题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：直线与平面所成的角

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

如图所示，O为正方形ABCD的中心，
∵BO⊥AC，DO⊥AC，
∴AC⊥面BOD，
∵AC?面ABC，∴面BOD⊥面ABC
∴BD在面ABC的射影是BO，∠BDO=φ是直线BD与面ABC所成角．
设∠BOD=θ（0°＜θ＜180°），正方形ABCD的边长为1，则BO=DO=

2

∴△BOD的面积=

1

2

BO×DO×sinθ=

1

4

sinθ．
∴三棱锥体积=

1

3

S_△BOD×AC=

2

12

sinθ≤

2

12

，
∴θ=90°时，三棱锥体积最大，此时△BOD是等腰Rt△，
∴φ=45°，即当A，B，C，D四点为顶点的三棱锥体积最大时候，直线BD与面ABC所成角为45°．
故答案为

π

4

．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知正方形ABCD的边长为1，沿对角线AC把△ACD折起，当以A，B，C，..”的主要目的是检查您对于考点“高中直线与平面所成的角”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中直线与平面所成的角”。

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