已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是正方形，M，N分别为AD，PB的中点，且PD⊥底面ABCD，其中PD=AD=a．（1）求证：MN⊥平面PBC；（2）求MN与平面ABC所成的角；（3）求四面体P-MBC的体积．-数学试题及答案

1、试题题目：已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是正方形，M，N分别为AD，PB的中点，..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-20 07:30:00

试题原文

已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是正方形，M，N分别为AD，PB的中点，且PD⊥底面ABCD，其中PD=AD=a．
（1）求证：MN⊥平面PBC；
（2）求MN与平面ABC所成的角；
（3）求四面体P-MBC的体积．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：直线与平面所成的角

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）取PC的中点Q，连DQ，NQ，则NQ∥BC且NQ=

1

2

BC．
因为BC∥DM，DM=

1

2

BC，所以NQ∥DM，且NQ=DM，所以四边形NQDM是平行四边形．
所以DQ∥MN，
因为PD⊥面ABCS，BC?面ABCD，
所以PD⊥BC，
因为BC⊥DQ．
因为PD=AD=a，所以DQ⊥PC，
因为PC∩BC=C，
所以DQ⊥面PBC，因为DQ∥MN，所以MN⊥面PBC．
（2）由（1）知，MN∥DQ，
所以MN与面ABCD所成角即为DQ与面ABCD所成角的大小，
取DC的中点R，连QR，则QR∥PD，
所以QR⊥面ABCD，所以∠QDR即为DQ与面ABCD所成的角．
所以∠QDR=45°，即MN与面ABCD所成角为45°．
（3）因为MN⊥平面PBC，所以VP-MBC=VM-PBC=

1

3

MN?S△PBC=

1

3

×

2

a×

1

2

×

2

a?a=

1

6

a3．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是正方形，M，N分别为AD，PB的中点，..”的主要目的是检查您对于考点“高中直线与平面所成的角”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中直线与平面所成的角”。

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