已知斜三棱柱ABC-A1B1C1的侧面A1ACC1与底面ABC垂直，∠ABC=90°，BC=2，AC=23，且AC=AA1=A1C．（Ⅰ）求侧棱AA1与底面ABC所成角的大小；（Ⅱ）求侧面A1ABB1与底面ABC所成二面角的正切值-数学试题及答案

1、试题题目：已知斜三棱柱ABC-A1B1C1的侧面A1ACC1与底面ABC垂直，∠ABC=90°，B..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-20 07:30:00

试题原文

已知斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧面A₁ACC₁与底面ABC垂直，∠ABC=90°，BC=2，AC=2

3

，且AC=AA₁=A₁C．
（Ⅰ）求侧棱AA₁与底面ABC所成角的大小；
（Ⅱ）求侧面A₁ABB₁与底面ABC所成二面角的正切值；
（Ⅲ）求侧棱B₁B和侧面A₁ACC₁的距离．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：直线与平面所成的角

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）因为侧面A₁ACC₁⊥底面ABC，AA₁?侧面A₁ACC₁，
侧面A₁ACC_1∩底面ABC=AC
所以直线AA₁在底面ABC内的射影为直线AC
故∠A₁AC为侧棱AA₁与底面ABC所成的角
又AC=AA₁=A₁C，所以∠A₁AC=60°为所求．（4分）
（2）取AC，AB的中点分别为M，N，连结A₁M，MN，NA₁
由（1）知A₁M⊥AC
故A₁M⊥底面ABC，A₁M⊥AB
又MN∥BC，∠ABC=90°
所以MN⊥AB，又MN∩A₁M=M，所以AB⊥平面A₁MN
则∠A₁NM即为所求二面角的平面角
在RtA₁MN中，A1M=

3

2

AC=3，MN=

1

2

BC=1，∠A1MN=90°
所以tan∠A1MN=

A1M

MN

=3，即所求二面角的正切值为3．（8分）
（3）作BH⊥AC于点H，因为BB₁∥侧面A₁ACC₁
所以点B到侧面A₁ACC₁的距离即为BB₁到侧面A₁ACC₁的距离．
魔方格

由（1）（2）知，BH的长即为所求
在Rt∠ABC中，BH=

AB?BC

AC

=

2

6

3

所以侧棱B₁B和侧面A₁ACC₁的距离为

2

6

3

．（12分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知斜三棱柱ABC-A1B1C1的侧面A1ACC1与底面ABC垂直，∠ABC=90°，B..”的主要目的是检查您对于考点“高中直线与平面所成的角”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中直线与平面所成的角”。

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