如图，在正三棱锥P-ABC中，M、N分别是侧棱PB、PC的中点，若截面AMN⊥侧面PBC，则此三棱锥的侧棱与底面所成角的正切值是．A．32B．2C．52D．63-数学试题及答案

1、试题题目：如图，在正三棱锥P-ABC中，M、N分别是侧棱PB、PC的中点，若截面A..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-20 07:30:00

试题原文

如图，在正三棱锥P-ABC中，M、N分别是侧棱PB、PC的中点，若截面AMN⊥侧面PBC，则此三棱锥的侧棱与底面所成角的正切值是．

A．

3

2

B．

2

C．

5

2

D．

6

3

试题来源：不详试题题型：单选题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：直线与平面所成的角

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

如图，设D为BC中点，则 PD⊥BC，PD⊥MN，垂足为E，E为MN中点．又面AMN⊥面PBC，则 PE⊥面AMN，PE⊥AE．
设底面边长为2，侧棱长为a，在△PBC中，PD²=a²-1，PE²=

1

4

PD²=

a2-1

4

，ME=

1

2

MN=

1

2

．
在△PAB中，由余弦定理，cos∠APB=

SA2+SB2-AB2

2SB×SA

=

SA2+SM2-AM2

2SM×SA

，代入数据化简得

a2-2

a2

=

5

4

a2-AM2

a2

，AM²=

a2

4

+2，
在△PAE中，由勾股定理，得出 PA²=AE²+PE²=AM²-ME²+PE²，即a²=

a2

4

+2-

1

4

+

a2-1

4

，解得a²=3，a=

3

设O为底面△ABC中心，连接OB，则∠PBO为三棱锥的侧棱PB与底面所成角，
在△POB中，BO=

2

3

，由勾股定理，PO²=PB²-BO²=

5

3

，PO=

15

3

，所以tan∠PBO=

PO

BO

=

5

2

，
三棱锥的侧棱与底面所成角的正切值是

5

2

．
故选C．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“如图，在正三棱锥P-ABC中，M、N分别是侧棱PB、PC的中点，若截面A..”的主要目的是检查您对于考点“高中直线与平面所成的角”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中直线与平面所成的角”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：