如图，正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面边长为1，侧棱长为2，E、F、G分别CC1、DD1、AA1中点．①求证：A1F⊥面BEF；②求证：GC1∥面BEF；③求直线A1B与面BEF所成的角．-数学试题及答案

1、试题题目：如图，正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面边长为1，侧棱长为2，E、F、G..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-20 07:30:00

试题原文

如图，正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面边长为1，侧棱长为2，E、F、G分别CC₁、DD₁、AA₁中点．
①求证：A₁F⊥面BEF；②求证：GC₁∥面BEF；③求直线A₁B与面BEF所成的角．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：直线与平面所成的角

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

①∵正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁；
∴CD⊥平面ADD₁A₁；
又E、F、G分别CC₁、DD₁、AA₁中点．
∴EF

∥

.

CD

∥

.

AB?E，F，A，B四点共面，且EF⊥平面ADD₁A₁，
所以EF⊥A₁F （1）；
而GF=

1

2

AA₁，所以三角形AA₁F为直角三角形且A₁F⊥AF （2）
且AF∩EF=F?A₁F⊥面AEF；
又由上得E，F，A，B四点共面
∴A₁F⊥面BEF；
②∵GA=

1

2

AA₁，C₁E=

1

2

CC₁；
∴GA

∥

.

C₁E，所以四边形GAEC₁为平行四边形，?GC₁∥AE
又因为GC₁不在平面BEF内，又由上得E，F，A，B四点共面
而AE在平面BEF内；
∴GC₁∥面BEF；
③∵A₁F⊥面BEF
∴∠A₁BF即为直线A₁B与面BEF所成的角，
在直角三角形A₁BF中
A₁B=

AB2+AA 12

=

5

，A₁F=

AG2+GF2

=

2

，
∴sin∠A₁BF=

A1F

A1B

=

2

5

=

10

5

?∠A₁BF=arcsin

10

5

．
即直线A₁B与面BEF所成的角为arcsin

10

5

．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“如图，正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面边长为1，侧棱长为2，E、F、G..”的主要目的是检查您对于考点“高中直线与平面所成的角”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中直线与平面所成的角”。

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