如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=4，AD=2，A1A=2，点F是棱BC的中点，点E在棱C1D1上，且D1E=λEC1（λ为实数）．（1）求二面角D1-AC-D的余弦值；（2）当λ=13时，求直线EF与平面D1AC-数学试题及答案

1、试题题目：如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=4，AD=2，A1A=2，点F是棱BC的..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-20 07:30:00

试题原文

如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=4，AD=2，A₁A=2，点F是棱BC的中点，点E在棱C₁D₁上，且D₁E=λEC₁（λ为实数）．
（1）求二面角D₁-AC-D的余弦值；
（2）当λ=

1

3

时，求直线EF与平面D₁AC所成角的正弦值的大小；
（3）求证：直线EF与直线EA不可能垂直．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：直线与平面所成的角

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）以DA、DC、DD₁为x、y、z轴，建立空间直角坐标系D-xyz，如图所示．
魔方格

则A（2，0，0），C（0，4，0），D₁（0，0，2），

D1A

=(2，0，-2)，

D1C

=(0，4，-2)． …（2分）
设平面D₁AC的法向量为

n

=（x，y，z），
则

n

?

D1A

=0，

n

?

D1C

=0．
即x=z，z=2y．令y=1，则x=z=2．
∴平面D₁AC的一个法向量

n

=（2，1，2）．…（4分）
又平面DAC的一个法向量为

m

=（0，0，1）．
故cos＜

m

，

n

＞=

m

?

n

|

m

|?|

n

|

=

2

1×3

=

2

3

，
即二面角D₁-AC-D的余弦值为

2

3

． …（6分）
（2）当λ=

1

3

时，E（0，1，2），F（1，4，0），

EF

=(1，3，-2)．
所以cos ＜

EF

，

n

＞=

EF

?

n

|

EF

|?|

n

|

=

1

14

×3

=

14

42

． …（9分）
因为 cos＜

EF

，

n

＞＞0，所以＜

EF

，

n

＞为锐角，
从而直线EF与平面D₁AC所成角的正弦值的大小为

14

42

． …（10分）
（3）假设EF⊥EA，则

EF

?

EA

=0．
∵E(0，

4λ

1+λ

，2)，F(1，4，0)，
∴

EA

=(2，-

4λ

1+λ

，-2)，

EF

=(1，4-

4λ

1+λ

，-2)． …（12分）
∴2-

4λ

1+λ

(4-

4λ

1+λ

)+4=0．化简得3λ²-2λ+3=0．
该方程无解，所以假设不成立，即直线EF不可能与直线EA不可能垂直．…（14分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=4，AD=2，A1A=2，点F是棱BC的..”的主要目的是检查您对于考点“高中直线与平面所成的角”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中直线与平面所成的角”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：