是否存在常数a，b使等式1-n+2-（n-1）+3-（n-2）+…+n-1=an（n+b）（n+2）对于任意的n∈N+总成立？若存在，求出来并证明；若不存在，说明理由．-数学试题及答案

1、试题题目：是否存在常数a，b使等式1-n+2-（n-1）+3-（n-2）+…+n-1=an（n+b）（n+2）..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-01 07:30:00

试题原文

是否存在常数a，b使等式1-n+2-（n-1）+3-（n-2）+…+n-1=an（n+b）（n+2）对于任意的n∈N₊总成立？若存在，求出来并证明；若不存在，说明理由．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：数学归纳法

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

假设存在常数a，b使等式1-n+2-（n-1）+3-（n-2）+…+n-1=an（n+b）（n+2）对于任意的n∈N₊总成立，
令n=1与n=2得：

1=a(1+b)×3

1×2+2×1=2a(2+b)×4

解得：

a=

1

6

b=1

，
即1-n+2-（n-1）+3-（n-2）+…+n-1=

1

6

n（n+1）（n+2）．
下面用数学归纳法证明：
（1）当n=1时，左边=1×1=1，右边=

1

6

×1×1×（1+1）×（1+2）=1，因此左边=右边，
∴当n=1时等式成立，
（2）假设当n=k时成立，
即1×k+2×（k-1）+3×（k-2）+…+k×1=

1

6

k（k+1）（k+2），
那么当 n=k+1时，
1×（k+1）+2×[（k+1）-1]+3×[（k+1）-2）]+…+（k+1）×1
=[1×k+2×（k-1）+3×（k-2）+…+k×1]+[1+2+3+…+（k+1）]
=

1

6

k（k+1）（k+2）+

(1+k+1)?(k+1)

2

=

1

6

（k+1）（k+2）（k+3）
=

1

6

（k+1）[（k+1）+1][（k+1）+2]
所以，当 n=k+1时等式也成立．
根据（1）和（2），可知等式对任何n∈N₊都成立．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“是否存在常数a，b使等式1-n+2-（n-1）+3-（n-2）+…+n-1=an（n+b）（n+2）..”的主要目的是检查您对于考点“高中数学归纳法”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中数学归纳法”。

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