已知数列{an}的各项都是正数，且满足：a0=1，an+1=12an（4-an），n∈N．（1）证明an＜an+1＜2，n∈N；（2）求数列{an}的通项公式an．-数学试题及答案

1、试题题目：已知数列{an}的各项都是正数，且满足：a0=1，an+1=12an（4-an），n∈..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-01 07:30:00

试题原文

已知数列{a_n}的各项都是正数，且满足：a₀=1，a_n+1=

1

2

an（4-a_n），n∈N．
（1）证明a_n＜a_n+1＜2，n∈N；
（2）求数列{a_n}的通项公式a_n．

试题来源：江西试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：数学归纳法

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）1°当n=1时，a₀=1，a₁=

1

2

a0（4-a₀）=

3

2

，
∴a₀＜a₁＜2，命题正确．
2°假设n=k时有a_k-1＜a_k＜2．
则n=k+1时，a_k-a_k+1=

1

2

ak-1（4-a_k-1）-

1

2

ak（4-a_k）
=2（a_k-1-a_k）-

1

2

（a_k-1²-a_k²）
=

1

2

（a_k-1-a_k）（4-a_k-1-a_k）．
而a_k-1-a_k＜0.4-a_k-1-a_k＞0，∴a_k-a_k+1＜0．
又a_k+1=

1

2

ak（4-a_k）=

1

2

[4-（a_k-2）²]＜2
∴n=k+1时命题正确．
由1°、2°知，对一切n∈N时有a_n＜a_n+1＜2．
（2）a_n+1=

1

2

an（4-a_n）=

1

2

[-（a_n-2）²+4]，
所以2（a_n+1-2）=-（a_n-2）²
令b_n=a_n-2，则b_n=-

1

2

b

2n-1

=-

1

2

(-

1

2

b

2n-2

)2=-

1

2

?(

1

2

)2

b

22n-1

=-(

1

2

)1+2++2n-1

b

2nn

，
又b_n=-1，所以b_n=-(

1

2

)2n-1，即a_n=2+b_n=2-(

1

2

)2n-1．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知数列{an}的各项都是正数，且满足：a0=1，an+1=12an（4-an），n∈..”的主要目的是检查您对于考点“高中数学归纳法”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中数学归纳法”。

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