是否存在正整数m，使得f（n）=（2n+7）?3n+9对任意自然数n都能被m整除？若存在，求出最大的m值，并证明你的结论；若不存在，请说明理由．-数学试题及答案

1、试题题目：是否存在正整数m，使得f（n）=（2n+7）?3n+9对任意自然数n都能被m整除..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-01 07:30:00

试题原文

是否存在正整数m，使得f（n）=（2n+7）?3ⁿ+9对任意自然数n都能被m整除？若存在，求出最大的m值，并证明你的结论；若不存在，请说明理由．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：数学归纳法

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

由f（n）=（2n+7）?3ⁿ+9，得f（1）=36，
f（2）=3×36，f（3）=10×36，f（4）=34×36，由此猜想m=36．
下面用数学归纳法证明：
（1）当n=1时，显然成立．
（2）假设n=k时，f（k）能被36整除，
即f（k）=（2k+7）?3^k+9能被36整除；
当n=k+1时，[2（k+1）+7]?3^k+1+9=3[（2k+7）?3^k+9]+18（3^k-1-1），
由于3^k-1-1是2的倍数，故18（3^k-1-1）能被36整除．
这就是说，当n=k+1时，f（n）也能被36整除．
由（1）（2）可知对一切正整数n都有f（n）=（2n+7）?3ⁿ+9能被36整除，m的最大值为36．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“是否存在正整数m，使得f（n）=（2n+7）?3n+9对任意自然数n都能被m整除..”的主要目的是检查您对于考点“高中数学归纳法”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中数学归纳法”。

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