已知数列{an}满足：a1=0，an+1=1+an3-an（n∈N+）（Ⅰ）计算a2，a3，a4的值；（Ⅱ）由（Ⅰ）的结果猜想{an}的通项公式，并用数学归纳法证明你的结论．-数学试题及答案

1、试题题目：已知数列{an}满足：a1=0，an+1=1+an3-an（n∈N+）（Ⅰ）计算a2，a3，a4的..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-01 07:30:00

试题原文

已知数列{a_n}满足：a₁=0，a_n+1=

1+an

3-an

（n∈N⁺）
（Ⅰ）计算a₂，a₃，a₄的值；
（Ⅱ）由（Ⅰ）的结果猜想{a_n}的通项公式，并用数学归纳法证明你的结论．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：数学归纳法

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）由a₁=0，a_n+1=

1+an

3-an

，
当n=1时，a₂=

1

3

，
当n=2时，a₃=

1+

1

3

3-

1

3

=

1

2

，
当n=3时，a₃=

1+

1

2

3-

1

2

=

3

5

，
（Ⅱ）由以上结果猜测：an=

n-1

n+1

（6分）
用数学归纳法证明如下：
（1）当n=1时，左边=a₁=0，右边═0，等式成立．（8分）
（2）假设当n=k（k≥1）时，命题成立，即ak=

k-1

k+1

成立．
那么，当n=k+1时，ak+1=

1+ak

3-ak

=

1+

k-1

k+1

3-

k-1

k+1

=

k+1+k-1

3k+3-k+1

=

2k

2k+4

=

k

k+2

=

(k+1)-1

(k+1)+1

这就是说，当n=k+1时等式成立．
由（1）和（2），可知猜测an=对于任意正整数n都成立．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知数列{an}满足：a1=0，an+1=1+an3-an（n∈N+）（Ⅰ）计算a2，a3，a4的..”的主要目的是检查您对于考点“高中数学归纳法”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中数学归纳法”。

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