已知数列{an}，其中a1=1，an+1=2an1+2an（n∈N*）（1）写出{an}的前4项（2）猜想{an}的通项公式，并用数学归纳法进行证明．-数学试题及答案

1、试题题目：已知数列{an}，其中a1=1，an+1=2an1+2an（n∈N*）（1）写出{an}的前4项..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-01 07:30:00

试题原文

已知数列{a_n}，其中a1=1，an+1=

2an

1+2an

（n∈N^*）
（1）写出{a_n}的前4项
（2）猜想{a_n}的通项公式，并用数学归纳法进行证明．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：数学归纳法

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）∵a₁=1，a_n+1=

2an

1+2an

，
∴a₂=

2a1

1+2a1

=

2

1+2

=

2

3

，
同理可求，a₃=

4

7

，a₄=

8

15

…（2分）
（2）由（1）猜想a_n=

2n-1

…（5分）
证明：①当n=1时，a₁=

21-1

=

1

=1，猜想成立 …（7分）
②假设n=k（k＞1且k∈N^*）时a_k=

2k-1

成立 …（8分）
那么当n=k+1时，a_k+1=

2ak

1+2ak

=

2?

2k-1

1+2?

2k-1

=

2?2k-1

2k-1+2?2k-1

=

2k

2?2k-1

=

2k-1+1

2k+1-1

，
即：n=k+1猜想成立 …（12分）
综上所述：当n∈N^*时a_n=

2n-1

成立． …（13分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知数列{an}，其中a1=1，an+1=2an1+2an（n∈N*）（1）写出{an}的前4项..”的主要目的是检查您对于考点“高中数学归纳法”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中数学归纳法”。

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