设数列{an}满足a1=2，an+1=an2-nan+1，n=1，2，3，…，（1）求a2，a3，a4；（2）猜想出{an}的一个通项公式并证明你的结论．-数学试题及答案

1、试题题目：设数列{an}满足a1=2，an+1=an2-nan+1，n=1，2，3，…，（1）求a2，a..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-01 07:30:00

试题原文

设数列{a_n}满足a₁=2，a_n+1=a_n²-na_n+1，n=1，2，3，…，
（1）求a₂，a₃，a₄；
（2）猜想出{a_n}的一个通项公式并证明你的结论．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：数学归纳法

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）由a₁=2，得a₂=a₁²-a₁+1=3
由a₂=3，得a₃=a₂²-2a₂+1=4
由a₃=4，得a₄=a₃²-3a₃+1=5
（1）用数学归纳法证明
①由a₁=2=1+1知n=1时，a_n=n+1成立
设n=k（k属于正整数）时a_n=n+1成立，即a_k=k+1
则当n=k+1时，因为a_n+1=a_n²-na_n+1，
所以a_k+1=a_k²-k（k+1）+1=（k+1）²-k（k+1）+1=k²+2k+1-k²-k+1=k+2
综上，a_n=n+1成立

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设数列{an}满足a1=2，an+1=an2-nan+1，n=1，2，3，…，（1）求a2，a..”的主要目的是检查您对于考点“高中数学归纳法”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中数学归纳法”。

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