已知y=f（x）对任意实数x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y）+2xy．（1）求f（0）的值；（2）若f（1）=1，求f（2），f（3），f（4）值，猜想f（n）表达式并用数学归纳法证明；（3）若f(1)≥1，求证：f(12n)＞0．-数学试题及答案

1、试题题目：已知y=f（x）对任意实数x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y）+2xy．（1）求f（0）的..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-01 07:30:00

试题原文

已知y=f（x）对任意实数x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y）+2xy．
（1）求f（0）的值；
（2）若f（1）=1，求f（2），f（3），f（4）值，猜想f（n）表达式并用数学归纳法证明；
（3）若f(1)≥1，求证：f(

1

2n

)＞0．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：数学归纳法

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）令x=y=0，则f（0）=0；
（2）f（2）=4，f（3）=9，f（4）=16，猜想f（n）=n²，
①当n=1时，显然成立；
②设n=k时成立，即f（k）=k²，则n=k+1时，f（k+1）=f（k）+f（1）+2k=（k+1）²即=k+1时，成立
综上知f（n）=n²，成立
（3）设f(1)=a(a≥1)，由f(1)=f(

1

2

+

1

2

)=2f(

1

2

)+2×

1

2

×

1

2

，得f(

1

2

)=

a

2

-

1

4

令x=y=(

1

2

)n+1，则f(

1

2n

)=f(

1

2n+1

+

1

2n+1

)=2f(

1

2n

)+2?

1

22n+2

变形为：f(

1

2n

)-

1

4n

=2[f(

1

2n+1

-

1

4n+1

]，因此数列{f(

1

2n

)-

1

4n

}是等比数列，
首项为f(

1

21

)-

1

4

=

a-1

2

，公比为2，∴f(

1

2n

)-

1

4n

=(

a-1

2

)?(

1

2

)n-1
∴f(

1

2n

)=(

a-1

2

)?(

1

2

)n-1+

1

4n

≥

1

4n

＞0

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知y=f（x）对任意实数x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y）+2xy．（1）求f（0）的..”的主要目的是检查您对于考点“高中数学归纳法”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中数学归纳法”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：