用两种方法证明：1+122+132+…+1n2＜2-1n(n≥2…，n∈N+)．-数学试题及答案

1、试题题目：用两种方法证明：1+122+132+…+1n2＜2-1n(n≥2…，n∈N+)．

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-01 07:30:00

试题原文

用两种方法证明：1+

1

22

+

1

32

+…+

1

n2

＜2-

1

n

(n≥2…，n∈N+)．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：数学归纳法

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

证明：解法一（放缩法）：∵

1

n2

＜

1

(n-1)×n

∴1+

1

22

+

1

32

+…+

1

n2

＜1+

1

1×2

+

1

2×3

+…+

1

(n-1)×n

又∵

1

(n-1)×n

=

1

n-1

-

1

n

∴1+

1

1×2

+

1

2×3

+…+

1

(n-1)×n

=1+1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n-1

-

1

n

=2-

1

n

即1+

1

22

+

1

32

+…+

1

n2

＜2-

1

n

(n≥2…，n∈N+)，即证．
解法二（数学归纳法）：
①当n=2时，左端=1+

1

22

=

5

4

，右端=2-

1

2

=

3

2

=

6

4

，∴左端＜右端，即证．
②假设n=k时，有1+

1

22

+

1

32

+…+

1

n2

＜2-

1

n

(n≥2…，n∈N+)恒成立，即1+

1

22

+

1

32

+…+

1

k2

＜2-

1

k

恒成立，
那么当n=k+1时，1+

1

22

+…+

1

k2

+

1

(k+1)2

＜2-

1

k

+

1

(k+1)2

=2-

k2+k+1

(k+1)2?k

＜2-

k2+k

(k+1)2?k

=2-

1

k+1

也成立，
即当n=k时上述原命题也成立，
综上，由①②知，1+

1

22

+

1

32

+…+

1

n2

＜2-

1

n

(n≥2…，n∈N+)恒成立，即证．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“用两种方法证明：1+122+132+…+1n2＜2-1n(n≥2…，n∈N+)．”的主要目的是检查您对于考点“高中数学归纳法”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中数学归纳法”。

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