大家知道，在数列{an}中，若an=n，则sn=1+2+3+…+n=12n2+12n，若an=n2，则sn=12+22+32+…+n2=13n3+12n2+16n，于是，猜想：若an=n3，则sn=13+23+33+…+n3=an4+bn3+cn2+dn．问：（1）这-数学试题及答案

1、试题题目：大家知道，在数列{an}中，若an=n，则sn=1+2+3+…+n=12n2+12n，若a..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-01 07:30:00

试题原文

大家知道，在数列{a_n}中，若a_n=n，则s_n=1+2+3+…+n=

1

2

n2+

1

2

n，若a_n=n²，则
s_n=12+22+32+…+n2=

1

3

n3+

1

2

n2+

1

6

n，于是，猜想：若a_n=n³，则s_n=1³+2³+3³+…+n³=an⁴+bn³+cn²+dn．
问：（1）这种猜想，你认为正确吗？
（2）不管猜想是否正确，这个结论是通过什么推理方法得到的？
（3）如果结论正确，请用数学归纳法给予证明．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：数学归纳法

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）猜想正确；
（2）这是一种类比推理的方法；
（3）由类比可猜想，a=

1

4

，n=1时，a+b+c+d=1；n=2时，16a+8b+4c+d=9；n=3时，81a+27b+9c+d=36
故解得a=

1

4

，b=

1

2

，c=

1

4

，∴s_n=1³+2³+3³+…+n³=

1

4

n⁴+

1

2

n³+

1

4

n²用数学归纳法证明：
①n=1时，结论成立；
②假设n=k时，结论成立，即1³+2³+3³+…+k³=

1

4

k⁴+

1

2

k³+

1

4

k^{2=[k(k+1)
2
]2}则n=k+1时，左边=1³+2³+3³+…+k³+（k+1）³=

1

4

k⁴+

1

2

k³+

1

4

k²+（k+1）³=[

k(k+1)

2

]2+(k+1)3
=(

k+1

2

)2(k2+4k+4)
=[

(k+1)(k+2)

2

]2
=右边，结论成立
由①②可知，s_n=1³+2³+3³+…+n³=

1

4

n⁴+

1

2

n³+

1

4

n²，成立

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“大家知道，在数列{an}中，若an=n，则sn=1+2+3+…+n=12n2+12n，若a..”的主要目的是检查您对于考点“高中数学归纳法”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中数学归纳法”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：