设S1=12，S2=12+22+12，S3=12+22+32+22+12，…，Sn=12+22+32+…+n2+…+32+22+12，…用数学归纳法证明：公式Sn=n(2n2+1)3对所有的正整数n都成立．-数学试题及答案

1、试题题目：设S1=12，S2=12+22+12，S3=12+22+32+22+12，…，Sn=12+22+32+…+n2..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-01 07:30:00

试题原文

设S₁=1²，S₂=1²+2²+1²，S₃=1²+2²+3²+2²+1²，…，
S_n=1²+2²+3²+…+n²+…+3²+2²+1²，…
用数学归纳法证明：公式Sn=

n(2n2+1)

3

对所有的正整数n都成立．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：数学归纳法

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

证明：因为S_n=1²+2²+3²+…+n²+…+3²+2²+1²，即要证明
1²+2²+3²+…+n²+…+3²+2²+1²=

n(2n2+1)

3

，（A）
（Ⅰ）当n=1，左边=1，右=

1?3

3

=1，故（A）式成立
（Ⅱ）假设当n=k时，（A）式成立，即
1²+2²+3²+…+k²+…+3²+2²+1²=

k(2k2+1)

3

现设n=k+1，在上式两边都加上（k+1）²+k²，得
1²+2²+3²+…+k²+（k+1）²+k²+…+3²+2²+1²=

k(2k2+1)

3

+（k+1）²+k²，
=

2k3+k+3(k+1)2+3k2

3

=

k(2k+1)(k+1)+3(k+1)2

3

=

(k+1)(2k2+4k+3)

3

=

(k+1)[2(k+1)2+1]

3

．
即证得当n=k+1时（A）式也成立根据（Ⅰ）和（Ⅱ），
（A）式对所有的正整数n都成立，即证得Sn=

n(2n2+1)

3

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设S1=12，S2=12+22+12，S3=12+22+32+22+12，…，Sn=12+22+32+…+n2..”的主要目的是检查您对于考点“高中数学归纳法”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中数学归纳法”。

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