已知数列{an}满足a1=1，an+1=an2an+1．（1）计算a2，a3，a4的值；（2）猜想an的表达式，并用数学归纳法证明．-数学试题及答案

1、试题题目：已知数列{an}满足a1=1，an+1=an2an+1．（1）计算a2，a3，a4的值；（2..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-01 07:30:00

试题原文

已知数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=

an

2an+1

．
（1）计算a₂，a₃，a₄的值；
（2）猜想a_n的表达式，并用数学归纳法证明．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：数学归纳法

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）∵a₁=1，a_n+1=

an

2an+1

，
∴a2=

a1

2a1+1

=

1

3

，a3=

a2

2a2+1

=

1

5

，a4=

a3

2a3+1

=

1

7

． …3分
（2）由（1）可以猜想an=

1

2n-1

． …4分
用数学归纳法证明：
ⅰ）当n=1时，a1=

1

2×1-1

=1，所以当n=1时猜想成立． …5分
ⅱ）假设当n=k（k∈N^*）时猜想成立，即ak=

1

2k-1

，
当n=k+1时，ak+1=

ak

2ak+1

=

1

2k-1

2?

1

2k-1

+1

=

1

2k-1

2+2k-1

2k-1

=

1

2k+1

=

1

2(k+1)-1

所以当n=k+1时猜想也成立．
由ⅰ）和ⅱ）可知，猜想对任意的n∈N^*都成立．
所以an=

1

2n-1

．…8分

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知数列{an}满足a1=1，an+1=an2an+1．（1）计算a2，a3，a4的值；（2..”的主要目的是检查您对于考点“高中数学归纳法”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中数学归纳法”。

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