已知数列{an}（n∈N+），a1=0，an+1=2an+n×2n（n≥1）．（1）求数列{an}的通项；（2）设数列{an}的前n项和为Sn，试用数学归纳法证明Sn=2n-1×（n2-3n+4）-2．-数学试题及答案

1、试题题目：已知数列{an}（n∈N+），a1=0，an+1=2an+n×2n（n≥1）．（1）求数列{an}的..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-01 07:30:00

试题原文

已知数列{a_n}（n∈N₊），a₁=0，a_n+1=2a_n+n×2ⁿ（n≥1）．
（1）求数列{a_n}的通项；
（2）设数列{a_n}的前n项和为S_n，试用数学归纳法证明S_n=2^n-1×（n²-3n+4）-2．

试题来源：江门一模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：数学归纳法

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）由a_n+1=2a_n+n×2ⁿ得a_n=2a_n-1+（n-1）×2^n-1，
a_n-1=2a_n-2+（n-2）×2^n-2（1分），
2a_n-1=2²a_n-2+（n-2）×2^n-1（3分），…，2^n-2a₂=2^n-1a₁+1×2^n-1，
累加得a_n=[（n-1）+（n-2）+…+1]×2^n-1=2^n-2×n（n-1）（5分）．
（2）n=1时，左边S₁=a₁=0，
右边2^n-1×（n²-3n+4）-2=1×（1-3+4）-2=0，
左边=右边，命题成立（7分）；
设n=k（k∈N₊）时，命题成立，
即S_k=2^k-1×（k²-3k+4）-2（8分），
则S_k+1=S_k+a_k+1（9分），
=2^k-1×（k²-3k+4）-2+2^k-1×k（k+1）=2^k（k²-k+2）-22^k×[（k+1）²-3（k+1）+4]-2，
从而n=k+1时，命题成立（11分）．
综上所述，数列a_n的前n项和S_n=2^n-1×（n²-3n+4）-2（12分）．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知数列{an}（n∈N+），a1=0，an+1=2an+n×2n（n≥1）．（1）求数列{an}的..”的主要目的是检查您对于考点“高中数学归纳法”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中数学归纳法”。

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