设n∈N*，0＜x＜1，f（n）=1-（1-xn）2，g（n）=[1-（1-x）2]n，试比较f（n）与g（n）的大小，并证明你的结论．-数学试题及答案

1、试题题目：设n∈N*，0＜x＜1，f（n）=1-（1-xn）2，g（n）=[1-（1-x）2]n，试比较f（n）与..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-01 07:30:00

试题原文

设n∈N^*，0＜x＜1，f（n）=1-（1-xⁿ）²，g（n）=[1-（1-x）²]ⁿ，试比较f（n）与g（n）的大小，并证明你的结论．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：数学归纳法

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

证明：f（n）=（2-xⁿ）xⁿ，g（x）=xⁿ（2-x）ⁿ（2分）
比较f（n）与g（n）的大小，即比较2-xⁿ与（2-x）ⁿ的大小．         （3分）
猜想：（2-x）ⁿ≥2-xⁿ（当且仅当n=1时，等号成立）           （5分）
下面用数学归纳法加以证明：
（1）当n=1时，显然（2-x）¹≥2-x，成立，n=2时，左边=（2-x）²=4-4x+x²，右边=2-x²，
因为4-4x+x²-2+x²=2（1-2x+x²）=2（1-x）²＞0，成立．                   （7分）
（2）假设当n=k（k≥2，k∈N）时，猜想成立，即（2-x）^k＞2-x^k（8分）
当n=k+1时，（2-x）^k+1=（2-x）（2-x）^k＞（2-x）（2-x^k）（注：0＜x＜1）
要证猜想成立，只需证明（2-x）（2-x^k）＞2-x^k+1（11分）
即证x^k+1-x^k-x+1＞0亦即（x-1）（x^k-1）＞0
由0＜x＜1易得上式成立，即n=k+1时，猜想成立．          （13分）
综上（1）（2）可知，猜想成立．                            （14分）
（另证：令x=1-t，要证（2-x）ⁿ＞2-xⁿ，即证（1-t）ⁿ+（1+t）ⁿ＞2，由二项式定理展开，易得证．酌情给分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设n∈N*，0＜x＜1，f（n）=1-（1-xn）2，g（n）=[1-（1-x）2]n，试比较f（n）与..”的主要目的是检查您对于考点“高中数学归纳法”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中数学归纳法”。

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