空间内有n个平面，设这n个平面最多将空间分成an个部分．（1）求a1，a2，a3，a4；（2）写出an关于n的表达式并用数学归纳法证明．-数学试题及答案

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1、试题题目：空间内有n个平面，设这n个平面最多将空间分成an个部分．（1）求a1，..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-01 07:30:00

试题原文

空间内有n个平面，设这n个平面最多将空间分成a_n个部分．
（1）求a₁，a₂，a₃，a₄；
（2）写出a_n关于n的表达式并用数学归纳法证明．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：数学归纳法

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）一条直线把平面分成2部分，所以a₁=2，
两条直线把平面最多分成4部分，所以a₂=4，
三条直线把平面最多分成8部分，所以a₃=8，
四条直线最多分成15部分，所以a₄=15；
（2）由（1）可知，an=

1

6

(n3+5n+6)．证明如下：
当n=1时显然成立，
设n=k（k≥1，k∈N^*）时结论成立，即ak=

1

6

(k3+5k+6)，
则当n=k+1时，再添上第k+1个平面，因为它和前k个平面都相交，所以可得k条互不平行且不共点的交线，且其中任3条直线不共点，这k条交线可以把第k+1个平面划最多分成

1

2

[(k+1)2-(k+1)+2)]个部分，每个部分把它所在的原有空间区域划分成两个区域．因此，空间区域的总数增加了

1

2

[(k+1)2-(k+1)+2)]个，
∴ak+1=ak+

1

2

[(k+1)2-(k+1)+2)]=

1

6

(k3+5k+6)+

1

2

[(k+1)2-(k+1)+2)]=

1

6

[(k+1)3+5(k+1)+6)]，
即当n=k+1时，结论也成立．
综上，对?n∈N^*，an=

1

6

(n3+5n+6)．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“空间内有n个平面，设这n个平面最多将空间分成an个部分．（1）求a1，..”的主要目的是检查您对于考点“高中数学归纳法”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中数学归纳法”。

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