数列{an}满足a1=3，an+1=4-4an，（1）计算a2，a3，a4，并由此猜想通项公式an；（2）用数学归纳法证明（1）的猜想．-数学试题及答案

1、试题题目：数列{an}满足a1=3，an+1=4-4an，（1）计算a2，a3，a4，并由此猜想通..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-01 07:30:00

试题原文

数列{a_n}满足a₁=3，an+1=4-

4

an

，
（1）计算a₂，a₃，a₄，并由此猜想通项公式a_n；
（2）用数学归纳法证明（1）的猜想．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：数学归纳法

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）∵a₁=3=

6

2

，a_n+1=4-

4

an

，
∴a₂=4-

4

a1

=4-

4

3

=

8

3

；
a₃=4-

4

a2

=4（1-

3

8

）=

10

4

，
a₄=4（1-

1

a3

）=4（1-

4

10

）=

12

5

．
由此猜想通项公式a_n=

2n+4

n+1

；
（2）下面用数学归纳法证明a_n=

2n+4

n+1

．
证明：1°当n=1时，a₁=

6

2

=3，等式成立；
2°假设n=k时，a_k=

2k+4

k+1

，
则n=k+1时，
a_k+1=4-

4

ak

=4（1-

1

ak

）
=4（1-

k+1

2k+4

）
=4×

k+3

2k+4

=

2k+6

k+2

=

2(k+1)+4

(k+1)+1

，即n=k+1时等式也成立．
综合1°，2°知，对任意正整数n，a_n=

2n+4

n+1

．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“数列{an}满足a1=3，an+1=4-4an，（1）计算a2，a3，a4，并由此猜想通..”的主要目的是检查您对于考点“高中数学归纳法”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中数学归纳法”。

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