已知f（n）=（2n+7）?3n+9，（1）求f（1）f（2）f（3）的值：（2）是否存在不小于2的正整数m，使得对于任意的正整数n，f（n）都能被m整除？如果存在，求出最大的m值；如果不存在，请说明理由．-数学试题及答案

1、试题题目：已知f（n）=（2n+7）?3n+9，（1）求f（1）f（2）f（3）的值：（2）是否存在不小于..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-01 07:30:00

试题原文

已知f（n）=（2n+7）?3ⁿ+9，
（1）求f（1）f（2）f（3）的值：
（2）是否存在不小于2的正整数m，使得对于任意的正整数n，f（n）都能被m整除？如果存在，求出最大的m值；如果不存在，请说明理由．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：数学归纳法

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）由题意f（n）=（2n+7）?3ⁿ+9，
所以f（1）=（2×1+7）×3¹+9=36；
f（2）=（2×2+7）×3²+9=3×36=108；
f（3）=（2×3+7）×3³+9=10×36=360；
（2）由（1）可以猜想最大m=36，
下面用数学归纳法证明，
①当n=1时，f（1）=36，显然能被36整除；
②假设n=k时f（k）能被36整除，即（2k+7）?3^k+9能被36整除，
那么，当n=k+1时，
[2（k+1）+7]?3^k+1+9
=[（2k+7）+2]?3^k?3+9
=3[（2k+7）?3^k+9]+18（3^k+1-1）．
由假设可知（2k+7）?3^k+9，能被36整除，
3^k+1-1是偶数，∴18（3^k+1-1）．也能被36整除，
由①②可知对任意n∈N^*都成立．
所以最大的m值为36．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知f（n）=（2n+7）?3n+9，（1）求f（1）f（2）f（3）的值：（2）是否存在不小于..”的主要目的是检查您对于考点“高中数学归纳法”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中数学归纳法”。

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