是否存在最大的正整数m，使得f（n）=（2n+7）?3n+9对任意正整数n都能被m整除？-数学试题及答案

1、试题题目：是否存在最大的正整数m，使得f（n）=（2n+7）?3n+9对任意正整数n都能..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-01 07:30:00

试题原文

是否存在最大的正整数m，使得f（n）=（2n+7）?3ⁿ+9对任意正整数n都能被m整除？

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：数学归纳法

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

f（1）=（2+7）?3+9=36，
f（2）=（2×2+7）?3²+9=36×3，
f（3）=（2×3+7）?3³+9=36×10，
猜测存在m=36（2分）
①当n=1时，f（1）=（2+7）?3+9=36能被36整除（1分）
②假设n=k时，f（k）=（2k+7）?3^k+9能被36整除
当n=k+1时，f（k+1）=[2（k+1）+7）]?3^k+1+9
=3[（2k+7）3^k+9+（2×3^k-9）]+9
=3[（2k+7）3^k+9]+6×3^k-18
=3[（2k+7）3^k+9]+18（3^k-1-1）（3分）
∵k∈N^*，∴3^k-1-1为偶数，18（3^k-1-1）能被36整除（2分）
∴f（k+1）=3[（2k+7）3^k+9]+18（3^k-1-1）能被36整除（1分）
∴n=k+1时，猜测也成立
由①②可知对任意正整数n猜测都成立
故存在m=36（1分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“是否存在最大的正整数m，使得f（n）=（2n+7）?3n+9对任意正整数n都能..”的主要目的是检查您对于考点“高中数学归纳法”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中数学归纳法”。

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