已知函数f(x)=αx1+xα(x＞0，α为常数），数列{an}满足：a1=12，an+1=f（an），n∈N*．（1）当α=1时，求数列{an}的通项公式；（2）在（1）的条件下，证明对?n∈N*有：a1a2a3+a2a3a4+…+anan+1a-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f(x)=αx1+xα(x＞0，α为常数），数列{an}满足：a1=..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-01 07:30:00

试题原文

已知函数f(x)=

αx

1+xα

(x＞0，α为常数），数列{a_n}满足：a1=

1

2

，a_n+1=f（a_n），n∈N*．
（1）当α=1时，求数列{a_n}的通项公式；
（2）在（1）的条件下，证明对?n∈N*有：a1a2a3+a2a3a4+…+anan+1an+2=

n(n+5)

12(n+2)(n+3)

；
（3）若α=2，且对?n∈N*，有0＜a_n＜1，证明：an+1-an＜

2

+1

8

．

试题来源：揭阳一模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：数学归纳法

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）当α=1时，an+1=f(an)=

an

1+an

，两边取倒数，得

1

an+1

-

1

an

=1，----（2分）
故数列{

1

an

}是以

1

a1

=2为首项，1为公差的等差数列，

1

an

=n+1，an=

1

n+1

，n∈N*．--------------（4分）
（2）证法1：由（1）知an=

1

n+1

，故对k=1，2，3…akak+1ak+2=

1

(k+1)(k+2)(k+3)

=

1

2

[

1

(k+1)(k+2)

-

1

(k+2)(k+3)

]-------------（6分）
∴a₁a₂a₃+a₂a₃a₄+…+a_na_n+1a_n+2=

1

2

[(

1

2×3

-

1

3×4

)+(

1

3×4

-

1

4×5

)+…+

1

(n+1)×(n+2)

-

1

(n+2)(n+3)

]
=

1

2

[

1

2×3

-

1

(n+2)(n+3)

]=

n(n+5)

12(n+2)(n+3)

．------------------------------（9分）．
[证法2：①当n=1时，等式左边=

1

2×3×4

=

1

24

，
等式右边=

1×(1+5)

12×(1+2)×(1+3)

=

1

24

，左边=右边，等式成立；-------------------------（5分）
②假设当n=k（k≥1）时等式成立，
即a1a2a3+a2a3a4+…+akak+1ak+2=

k(k+5)

12(k+2)(k+3)

，
则当n=k+1时a1a2a3+a2a3a4+…+akak+1ak+2+ak+1ak+2ak+3=

k(k+5)

12(k+2)(k+3)

+

1

(k+2)(k+3)(k+4)

=

k(k+5)(k+4)+12

12(k+2)(k+3)(k+4)

=

k3+9k2+20k+12

12(k+2)(k+3)(k+4)

=

k2(k+1)+4(k+1)(2k+3)

12(k+2)(k+3)(k+4)

=

(k+1)(k+2)(k+6)

12(k+2)(k+3)(k+4)

=

(k+1)[(k+1)+5]

12[(k+1)+2][(k+1)+3]

这就是说当n=k+1时，等式成立，----------------------------------------（8分）
综①②知对于?n∈N*有：a1a2a3+a2a3a4+…+anan+1an+2=

n(n+5)

12(n+2)(n+3)

．----（9分）]
（3）当α=2时，an+1=f(an)=

2an

1+

a

2n

则an+1-an=

2an

1+

a

2n

-an=an(1-an)

1+an

1+

a

2n

，-------------------（10分）
∵0＜a_n＜1，
∴an+1-an=an(1-an)

1+an

1+

a

2n

≤(

an+1-an

2

)2?

1+an

1+

a

2n

--------------------------------（11分）=

1

4

?

1+an

(1+an)2-2(an+1)+2

=

1

4

?

1

an+1+

2

an+1

-2

≤

1

4

?

1

2

-2

=

2

+1

8

．--------------------（13分）
∵a_n=1-a_n与an+1=

2

an+1

不能同时成立，∴上式“=”不成立，
即对?n∈N^*，an+1-an＜

2

+1

8

．-----------------------------------------------------------（14分）
证法二：当α=2时，an+1=f(an)=

2an

1+

a

2n

，
则an+1-an=

2an

1+

a

2n

-an=

an-

a

3n

1+

a

2n

----------------------------------------------------（10分）
又0＜a_n＜1，∴

an+1

an

=

2

1+

a

2n

＞1，
∴a_n+1＞a_n，∴a_n∈[

1

2

，1），n∈N^*------------------------------------------------（11分）
令g(x)=

x-x3

1+x2

，x∈[

1

2

，1)，则g′(x)=

-x4-4x2+1

(1+x2)2

，--------------------------（12分）
当x∈[

1

2

，1)，g′(x)＜0，所以函数g（x）在[

1

2

，1)单调递减，故当x∈[

1

2

，1)，g(x)≤

1

2

-(

1

2

)3

1+(

1

2

)2

=

3

10

＜

2

+1

8

，所以命题得证------------------（14分）
所以命题得证-----------------------------------------（14分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f(x)=αx1+xα(x＞0，α为常数），数列{an}满足：a1=..”的主要目的是检查您对于考点“高中数学归纳法”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中数学归纳法”。

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