数列{an}满足Sn=2n-an，n∈N+．（Sn为前n项和）（1）计算a1，a2，a3，a4，并由此猜想an；（2）用数学归纳法证明（1）中的结论．-数学试题及答案

1、试题题目：数列{an}满足Sn=2n-an，n∈N+．（Sn为前n项和）（1）计算a1，a2，a3，a..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-01 07:30:00

试题原文

数列{a_n}满足S_n=2n-a_n，n∈N⁺．（S_n为前n项和）
（1）计算a₁，a₂，a₃，a₄，并由此猜想a_n；（2）用数学归纳法证明（1）中的结论．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：数学归纳法

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）a₁=s₁=2-a₁，∴a₁=1，
s₂=a₁+a₂=2×2-a₂，
∴a₂=

3

2

，s₃=a₁+a₂+a₃=2×3-a₃，
∴a₃=

7

4

，
s₄-s₃=a₄，
∴2×4-a₄-a₃=a₄，a₄=

15

8

，
猜想a_n=2-

1

2n-1

（n∈N⁺）．
（2）证明：①当n=1时，a₁=2-

1

21-1

=1-1=1，猜想结论成立．
②假设当n=k（k≥1）时结论成立，即a_k=2-

1

2k-1

．
当n=k+1时a_k+1=s_k+1-s_k=2（k+1）-a_k+1-2k+a_k，
2a_k+1=2+a_k，a_k+1=1+

ak

2

=1+1-

1

2k

=2-

1

2(k+1)-1

．
所以当n=k+1时，猜想结论成立．
由（1）和（2）可知，对一切n（n∈N⁺）结论成立．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“数列{an}满足Sn=2n-an，n∈N+．（Sn为前n项和）（1）计算a1，a2，a3，a..”的主要目的是检查您对于考点“高中数学归纳法”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中数学归纳法”。

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