已知数列{an}中，a1=2，an+1=(2-1)(an+2)，n=1，2，3，…（Ⅰ）求{an}的通项公式；（Ⅱ）若数列{bn}中，b1=2，bn+1=3bn+42bn+3，n=1，2，3，…，证明：2＜bn≤a4n-3，n=1，2，3，…-数学试题及答案

1、试题题目：已知数列{an}中，a1=2，an+1=(2-1)(an+2)，n=1，2，3，…（Ⅰ）求{an..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-01 07:30:00

试题原文

已知数列{a_n}中，a₁=2，an+1=(

2

-1)(an+2)，n=1，2，3，…
（Ⅰ）求{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{b_n}中，b₁=2，bn+1=

3bn+4

2bn+3

，n=1，2，3，…，证明：

2

＜bn≤a4n-3，n=1，2，3，…

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：数学归纳法

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）由题设：an+1=(

2

-1)(an+2)=(

2

-1)(an-

2

)+(

2

-1)(2+

2

)=(

2

-1)(an-

2

)+

2

，an+1-

2

=(

2

-1)(an-

2

)．
所以，数列{an-

2

}是首项为2-

2

，公比为

2

-1的等比数列，an-

2

=

2

(

2

-1)n，
即a_n的通项公式为an=

2

[(

2

-1)n+1]，n=1，2，3，．
（Ⅱ）用数学归纳法证明．
（ⅰ）当n=1时，因

2

＜2，b₁=a₁=2，所以

2

＜b1≤a1，结论成立．
（ⅱ）假设当n=k时，结论成立，即

2

＜bk≤a4k-3，
也即0＜bk-

2

≤a4k-3-

3

．
当n=k+1时，bk+1-

2

=

3bk+4

2bk+3

-

2

=

(3-2

2

)bk+(4-3

2

)

2bk+3

=

(3-2

2

)(bk-

2

)

2bk+3

＞0，
又

1

2bk+3

＜

1

2

+3

=3-2

2

，
所以bk+1-

2

=

(3-2

2

)(bk-

2

)

2bk+3

＜(3-2

2

)2(bk-

2

)≤(

2

-1)4(a4k-3-

2

)=a4k+1-

2

．
也就是说，当n=k+1时，结论成立．
根据（ⅰ）和（ⅱ）知

2

＜bn≤a4n-3，n=1，2，3，．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知数列{an}中，a1=2，an+1=(2-1)(an+2)，n=1，2，3，…（Ⅰ）求{an..”的主要目的是检查您对于考点“高中数学归纳法”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中数学归纳法”。

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