设a0为常数，且an=3n-1-2an-1（n∈N*）．证明：n≥1时，an=15[3n+（-1）n-1?2n]+（-1）n?2n?a0．-数学试题及答案

1、试题题目：设a0为常数，且an=3n-1-2an-1（n∈N*）．证明：n≥1时，an=15[3n+（-1）n..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-01 07:30:00

试题原文

设a₀为常数，且a_n=3^n-1-2a_n-1（n∈N*）．证明：n≥1时，a_n=

1

5

[3ⁿ+（-1）^n-1?2ⁿ]+（-1）ⁿ?2ⁿ?a₀．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：数学归纳法

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

证明：（1）当n=1时，

1

5

[3+2]-2a₀=1-2a₀，而a₁=3⁰-2a₀=1-2a₀．
∴当n=1时，通项公式正确．
（2）假设n=k（k∈N*）时正确，即a_k=

1

5

[3^k+（-1）^k-1?2^k]+（-1）^k?2^k?a₀，
那么a_k+1=3^k-2a_k=3^k-

2

5

×3^k+

2

5

（-1）^k?2^k+（-1）^k+1?2^k+1a₀
=

3

5

?3^k+

1

5

（-1）^k?2^k+1+（-1）^k+1?2^k+1?a₀
=

1

5

[3^k+1+（-1）^k?2^k+1]+（-1）^k+1?2^k+1?a₀．∴当n=k+1时，通项公式正确．
由（1）（2）可知，对n∈N*，a_n=

1

5

[3ⁿ+（-1）^n-1?2ⁿ]+（-1）ⁿ?2ⁿ?a₀．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设a0为常数，且an=3n-1-2an-1（n∈N*）．证明：n≥1时，an=15[3n+（-1）n..”的主要目的是检查您对于考点“高中数学归纳法”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中数学归纳法”。

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