已知数列{an}中，Sn是{an}的前n项和，且Sn是2a与-2nan的等差中项，其中a是不等于零的常数．（1）求a1，a2，a3；（2）猜想an的表达式，并用数学归纳法加以证明．-数学试题及答案

1、试题题目：已知数列{an}中，Sn是{an}的前n项和，且Sn是2a与-2nan的等差中项..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-01 07:30:00

试题原文

已知数列{a_n}中，S_n是{a_n}的前n项和，且S_n是2a与-2na_n的等差中项，其中a是不等于零的常数．
（1）求a₁，a₂，a₃；
（2）猜想a_n的表达式，并用数学归纳法加以证明．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：数学归纳法

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）由题意S_n=a-na_n，…（1分）
当n=1时，S₁=a₁=a-a₁，∴a1=

a

2

； …（2分）
当n=2时，S₂=a₁+a₂=a-2a₂，∴a2=

a

6

； …（3分）
当n=3时，S₃=a₁+a₂+a₃=a-3a₃，∴a3=

a

12

； …（4分）
（2）猜想：an=

a

n(n+1)

(n∈N*)．…（6分）
证明：①当n=1时，由（1）可知等式成立； …（7分）
②假设n=k（k≥1，k∈N^*）时等式成立，即：ak=

a

k(k+1)

，…（8分）
则当n=k+1时，a_k+1=S_k+1-S_k=a-（k+1）a_k+1-（a-ka_k），
∴(k+2)ak+1=kak=

a

(k+1)

，∴ak+1=

a

(k+1)(k+2)

=

a

(k+1)[(k+1)+1]

，
即n=k+1时等式也成立．…（14分）
综合①②知：an=

a

n(n+1)

对任意n∈N^*均成立．…（15分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知数列{an}中，Sn是{an}的前n项和，且Sn是2a与-2nan的等差中项..”的主要目的是检查您对于考点“高中数学归纳法”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中数学归纳法”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：