已知f（x）=（x+2）2（x≥0），又数列{an}（an＞0）中，a1=2，这个数列的前n项和的公式Sn（n∈N*）对所有大于1的自然数n都有Sn=f（Sn-1）．（1）求数列{an}的通项公式；（2）若bn=an+12+an22an+1-数学试题及答案

1、试题题目：已知f（x）=（x+2）2（x≥0），又数列{an}（an＞0）中，a1=2..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-31 07:30:00

试题原文

已知f（x）=（

x

+

2

）²（x≥0），又数列{a_n}（a_n＞0）中，a₁=2，这个数列的前n项和的公式S_n（n∈N^*）对所有大于1的自然数n都有S_n=f（S_n-1）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若b_n=

an+12+an2

2an+1an

（n∈N^*），求证

lim

n→∞

（b₁+b₂+…+b_n-n）=1．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：数列的极限

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）∵f（x）=（

x

+

2

）²，
∴S_n=（

Sn-1

+

2

）²．
∴

Sn

-

Sn-1

=

2

．又

a1

=

2

，
故有

Sn

=

2

+（n-1）

2

=n

2

，
即S_n=2n²（n∈N^*）．
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2n²-2（n-1）²=4n-2；
当n=1时，a₁=2，适合a_n=4n-2．
因此，a_n=4n-2（n∈N^*）．
（2）∵b_n=

an+12+an2

2an+1an

=1+

1

2n-1

-

1

2n+1

，
∴b₁+b₂+b₃++b_n-n=1-

1

2n+1

．
从而

lim

n→∞

（b₁+b₂++b_n-n）=

lim

n→∞

（1-

1

2n+1

）=1．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知f（x）=（x+2）2（x≥0），又数列{an}（an＞0）中，a1=2..”的主要目的是检查您对于考点“高中数列的极限”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中数列的极限”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：