已知f(x)=1x+2，点A0表示原点，点An（n，f（n））（n∈N*），θn是向量an与向量i=(1，0)的夹角，an=A0A1+A1A2+A2A3+…+An-1An，设Sn=tanθ1+tanθ2+tanθ3+…+tanθn，则limn→∞Sn=_____

1、试题题目：已知f(x)=1x+2，点A0表示原点，点An（n，f（n））（n∈N*），θn是向量an..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-31 07:30:00

试题原文

已知f(x)=

1

x+2

，点A₀表示原点，点A_n（n，f（n））（n∈N^*），θ_n是向量

an

与向量

i

=(1，0)的夹角，

an

=

A0A1

+

A1A2

+

A2A3

+…+

An-1An

，设S_n=tanθ₁+tanθ₂+tanθ₃+…+tanθ_n，则

lim

n→∞

Sn=______．

试题来源：资阳三模试题题型：填空题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：数列的极限

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

由向量求和知

an

=

A0A1

+

A1A2

+

A2A3

+…+

An-1An

=

.

A0

An，
又有f(x)=

1

x+2

，点A_n（n，f（n））（n∈N^*），
向量

an

与向量

i

=(1，0)的夹角为θ_n即线段A₀A_n与x轴夹角也为θ_n，
由此可知tanθ_n=

f(n)

n

=

1

n+2

n

=

1

n×(n+2)

，
又设S_n=tanθ₁+tanθ₂+tanθ₃+…+tanθ_n，
由tanθ_n=

1

n×(n+2)

=（

1

n

-

1

n+2

）×

1

2

，
利用数列裂项相消求和公式可得：
S_n=tanθ₁+tanθ₂+tanθ₃+…+tanθ_n=

1

2

×（1-

1

3

+

1

2

-

1

4

+

1

3

-

1

5

+…+

1

n-1

-

1

n+1

+

1

n

-

1

n+2

）=

1

2

×（1+

1

2

-

1

n+1

-

1

n+2

）．
∴

lim

n→∞

Sn=

3

4

．
故答案为：

3

4

．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知f(x)=1x+2，点A0表示原点，点An（n，f（n））（n∈N*），θn是向量an..”的主要目的是检查您对于考点“高中数列的极限”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中数列的极限”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：