已知数列{an}、{bn}的前n项和分别为Sn、Tn，且Sn=2-2an，Tn=3-bn-12n-2．（I）求数列{an}、{bn}的通项公式；（II）求limn→∞（a1b1+a2b2+a3b3+…+anbn）．-数学试题及答案

1、试题题目：已知数列{an}、{bn}的前n项和分别为Sn、Tn，且Sn=2-2an，Tn=3-bn..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-31 07:30:00

试题原文

已知数列{a_n}、{b_n}的前n项和分别为S_n、T_n，且S_n=2-2a_n，T_n=3-b_n-

1

2n-2

．
（I）求数列{a_n}、{b_n}的通项公式；
（II）求

lim

n→∞

（a₁b₁+a₂b₂+a₃b₃+…+a_nb_n）．

试题来源：唐山三模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：数列的极限

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（I ）由已知可得S₁=a₁=2-2a₁，T1=b1=3- b1-

1

2-1

∴a1=

2

3

，b1=

1

2

当n≥2时，S_n=2-2a_n，S_n-1=2-2a_n-1
两式相减可得，a_n=S_n-S_n-1=-2a_n+2a_n-1
∴an=

2

3

an-1
∴数列{a_n}是以

2

3

为首项，以

2

3

为公比的等比数列
由等比数列的通项可得，an=

2

3

?(

2

3

)n-1=(

2

3

)n（3分）
当n≥2，T_n=3-b_n-

1

2n-2

．Tn-1=3-bn-1-

2

2n-3

两式相减可得，b_n=T_n-T_n-1=-bn+bn-1+

1

2n-2

∴2bn=bn-1+

1

2n-2

∴2ⁿb_n-2^n-1b_n-1=2，2b₁=1
∴数列{2ⁿb_n}是以以1为首项，已2为公差的等差数列
2ⁿb_n=1+2（n-1）=2n-1
∴bn=

2n-1

2n

（6分）
（II）W_n=a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n
则Wn=

1

3

+

3

32

+

5

33

+…+

2n-1

3n

1

3

Wn=

1

32

+

3

33

+…+

2n-1

3n+1

两式相减可得，

2

3

Wn=

1

3

+2(

1

32

+

1

33

+…+

1

3n

)-

2n-1

3n+1

=

1

3

+2?

1

9

(1-

1

3n-1

)

1-

1

3

=

2

3

-

2(n+1)

3n+1

∴Wn=1-

n+1

3n

（9分）
当n≥2时，3ⁿ=（1+2）ⁿ=1+2C_n¹+2²C_n²+…+2ⁿC_nⁿ＞2C_n¹+2²C_n²=2n²
∴0＜

n+1

3n

＜

n+1

2n2

∵

lim

n→∞

n+1

2n2

=0
∴

lim

n→∞

(1-

n+1

3n

)=1（12分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知数列{an}、{bn}的前n项和分别为Sn、Tn，且Sn=2-2an，Tn=3-bn..”的主要目的是检查您对于考点“高中数列的极限”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中数列的极限”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：