定义域为R，且对任意实数x1，x2都满足不等式f（x1+x22）≤f(x1)+f(x2)2的所有函数f（x）组成的集合记为M，例如，函数f（x）=kx+b∈M．（1）已知函数f（x）=x，x≥012x，x＜0，证明：f（x）∈M；-数学试题及答案

1、试题题目：定义域为R，且对任意实数x1，x2都满足不等式f（x1+x22）≤f(x1)+f(x..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-31 07:30:00

试题原文

定义域为R，且对任意实数x₁，x₂都满足不等式f（

x1+x2

2

）≤

f(x1)+f(x2)

2

的所有函数f（x）组成的集合记为M，例如，函数f（x）=kx+b∈M．
（1）已知函数f（x）=

x，x≥0

1

2

x，x＜0

，证明：f（x）∈M；
（2）写出一个函数f（x），使得f（x₀）?M，并说明理由；
（3）写出一个函数f（x）∈M，使得数列极限

lim

n→∞

f(n)

n2

=1，

lim

n→∞

f(-n)

-n

=1．

试题来源：上海试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：数列的极限

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）证明：由题意，当x₁≤x₂≤0或0≤x₁≤x₂时，f（

x1+x2

2

）≤

f(x1)+f(x2)

2

成立
设x₁≤0≤x₂，且

x1+x2

2

＜0，
∵

f(x1)+f(x2)

2

-f（

x1+x2

2

）=

1

2

(

1

2

x1+x2)-

1

2

?

x1+x2

2

=

x2

4

≥0
∴f（

x1+x2

2

）≤

f(x1)+f(x2)

2

成立
设x₁≤0≤x₂，且

x1+x2

2

≥0，
∵

f(x1)+f(x2)

2

-f（

x1+x2

2

）=

1

2

(

1

2

x1+x2)-

1

2

?

x1+x2

2

=

-x1

4

≥0
∴f（

x1+x2

2

）≤

f(x1)+f(x2)

2

成立
∴综上所述，f（x）∈M；
（2）如函数f（x）=-x²，f（x）?M
取x₁=-1，x₂=1，则

f(x1)+f(x2)

2

=-1，f（

x1+x2

2

）=0
此时f（

x1+x2

2

）≤

f(x1)+f(x2)

2

不成立；
（3）f（x）=

x2，x≥1

x，x＜1

满足f（x）∈M，且

lim

n→∞

f(n)

n2

=

lim

n→∞

n2

=1，

lim

n→∞

f(-n)

-n

=

lim

n→∞

-n

=1．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“定义域为R，且对任意实数x1，x2都满足不等式f（x1+x22）≤f(x1)+f(x..”的主要目的是检查您对于考点“高中数列的极限”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中数列的极限”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：