已知函数f(x)=log33x1-x，M(x1，y1)，N(x2，y2)是f（x）图象上的两点，横坐标为12的点P是M，N的中点．（1）求证：y1+y2为定值；（2）若Sn=f(1n)+f(2n)+…+f(n-1n)（n∈N*，n≥2），求limn-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f(x)=log33x1-x，M(x1，y1)，N(x2，y2)是f（x）图象上的两..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-31 07:30:00

试题原文

已知函数f(x)=log3

3

x

1-x

，M(x1，y1)，N(x2，y2)是f（x）图象上的两点，横坐标为

1

2

的点P是M，N的中点．
（1）求证：y₁+y₂为定值；
（2）若Sn=f(

1

n

)+f(

2

n

)+…+f(

n-1

n

)（n∈N^*，n≥2），求

lim

n→∞

4Sn-9Sn

4Sn+1+9Sn+1

的值；
（3）在（2）的条件下，若an=

1

6

，n=1

1

4(Sn+1)(Sn+1+1)

，n≥2

（n∈N^*），T_n为数列{a_n}的前n项和，若T_n＜m（S_n+1+1）对一切n∈N^*都成立，试求实数m的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：数列的极限

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）证明：由已知P是MN的中点，有x₁+x₂=1，
∴y1+y2=log3

3

x1

1-x1

+log3

3

x2

1-x2

=log3

3x1x2

1-(x1+x2)+x1x2

=1…4分
（2）由（1）知当x₁+x₂=1时，y₁+y₂=f（x₁）+f（x₂）=1．
∵Sn=f(

1

n

)+f(

2

n

)…+f(

n-1

n

)①，Sn=f(

n-1

n

)+…+f(

2

n

)+f(

1

n

)②
①+②得Sn=

n-1

2

…8分
∴

lim

n→∞

4Sn-9Sn

4Sn+1+9Sn+1

=

lim

n→∞

2n-1-3n-1

2n+3n

=-

1

3

…12分
（3）当n≥2时，an=

1

4×

n+1

2

?

n+2

2

=

1

n+1

-

1

n+2

．
又当n=1时，a1=

1

6

，所以an=

1

n+1

-

1

n+2

…14分
故Tn=(

1

2

-

1

3

)+(

1

3

-

1

4

)+…+(

1

n+1

-

1

n+2

)=

n

2(n+2)

…16分
∵T_n＜m（S_n+1+1）对一切n∈N^*都成立，即m＞

Tn

Sn+1+1

=

n

(n+2)2

恒成立
又

n

(n+2)2

=

1

n+

4

n

+4

≤

1

8

，所以m的取值范围是(

1

8

，+∞)…18分．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f(x)=log33x1-x，M(x1，y1)，N(x2，y2)是f（x）图象上的两..”的主要目的是检查您对于考点“高中数列的极限”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中数列的极限”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：